8.2. ბინომიალური შემთხვევითი ცვლადი და მისი ალბათური განაწილება

ბინომიალური განაწილება წარმოადგენს ბერნულის განაწილების განზოგადებას იმ მხრივ, რომ თუკი ბერნულის ცდას არა ერთხელ, არამედ რამდენჯერმე გავიმეორებთ, მაშინ ალბათობათა გამოთვლა შესაძლებელი გახდება ბინომიალური განაწილების ფორმულების მეშვეობით. ამასთან, იგულისხმება, რომ თითოეული ცდა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია და მიღებული შედეგები ერთმანეთზე გავლენას ვერ ახდენს. მეტი სიცხადისათვის კვლავ დავუშვათ, რომ ერთ ცდაში წარმატების მიღწევის ალბათობა უდრის \( p \)-ს და განმეორებით ტარდება \( n \) დამოუკიდებელი ცდა. წარმატებათა რაოდენობა აღვნიშნოთ \( X \)-ით. მისი განაწილება იქნება ბინომიალური და სავარაუდო მნიშვნელობები, შესაბამისად, შესაძლოა აღმოჩნდეს ნებისმიერი მთელი რიცხვი 0-დან \( n \)-მდე. ჩვენ გვაინტერესებს ალბათობა იმისა, რომ \( X=x\), ანუ ალბათობა იმისა, რომ \( n \) ცდაში მიიღწევა ზუსტად \( x \) რაოდენობის წარმატება.

დავუშვათ, ვატარებთ \( n=5 \) დამოუკიდებელ ცდას, სადაც თითოეული ცდის შედეგი „წარმატება“ ან „მარცხია“, ექსპერიმენტის შედეგები იქნება შემდეგი მიმდევრობები:

  • წ, მ, მ, მ, მ
  • მ, წ, მ, მ, მ
  • წ, წ, მ, მ, მ
  • მ, მ, მ, წ, წ

სადაც „წ“ „წარმატებას“ შეესაბამება, ხოლო „მ“ კი – „მარცხს“. რა არის ალბათობა იმისა, რომ, მაგალითად, “წ, წ, წ, მ, მ” მიმდევრობა იქნება ექსპერიმენტის შედეგი (ანუ \( X=3 \))? რამდენადაც ცდების შედეგები ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია, ამიტომ მათი ცალკეული ალბათობები უნდა გადამრავლდეს, რათა კონკრეტული მიმდევრობის მიღების ალბათობა გავიგოთ: $$ p*p*p*(1-p)*(1-p)=p^3*(1-p)^2 $$ საინტერესოა, რომ იგივე პასუხს მივიღებთ, თუკი აღნიშნულ მიმდევრობაში “წარმატებებსა” და “მარცხებს” უბრალოდ გადავანაცვლებთ, დავუშვათ, ასე: “მ, წ, წ, წ, მ”. შესაბამისად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მიღებული ფორმულა ასევე სამართლიანი იქნება \( n \) დამოუკიდებელ ცდაში \( x \) რაოდენობის „წარმატებათა“ მისაღებად ნებისმიერი თანმიმდევრობით: $$ p^x*(1-p)^{n-x} $$ დავუბრუნდეთ მაგალითს. რამდენი მიმდევრობა შესაძლოა გვქონდეს 3 „წარმატებითა“ და 2 „მარცხით“? აქ გამოგვადგება ჩვენთვის კარგად ნაცნობი ჯუფთების ფორმულა: $$ C_3^5=\frac{5!}{3!2!}=10 $$ ე.ი. გვაქვს სულ 10 განსხვავებული ვარიანტი, რომელიც აკმაყოფილებს ხდომილებას „ზუსტად 3 წარმატება 5 ცდაში“ და თითოეული ვარიანტის დადგომის ალბათობა, როგორც ზემოთ ვნახეთ, \( p^3*(1-p)^2 \)-ს უდრის. მაშასადამე,
$$ P(X=3)=p^3*(1-p)^2+p^3*(1-p)^2+⋯+p^3*(1-p)^2=10*p^3*(1-p)^2 $$ ახლა კი ჩამოვაყალიბოთ ზოგადი განსაზღვრება.

განსაზღვრება 8.2.1. დავუშვათ, ტარდება შემთხვევითი ექსპერიმენტი, რომლის თითოეულ ცდას გააჩნია ორი შესაძლო ურთიერთგამომრიცხავი და ერთობლივად ამომწურავი შედეგი, „წარმატება“ და „მარცხი“. თითოეულ ცდაში „წარმატების“ ალბათობის სიდიდე ავღნიშნოთ \( p \)-თი. თუ ჩატარდება \( n \) ცალი დამოუკიდებელი ცდა, მიღწეულ „წარმატებათა“ რაოდენობის, \( X \)-ის, განაწილებას ეწოდება ბინომიალური განაწილება. ალბათობის ფუნქცია შესაბამისი ბინომიალური შემთხვევითი ცვლადისთვის იქნება: $$ P(x \,\, წარმატება \,\, n \,\, ცდაში)≡P(X=x)≡f(x)=C_x^n*p^x*(1-p)^{n-x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}*p^x*(1-p)^{n-x} $$

აღნიშნული ბინომიალური შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური ლოდინი (საშუალო): $$ \mu=E(X)=np $$ დისპერსია: $$ \sigma^2(X)=np(1-p) $$ თუ დავუბრუნდებით ზედა მაგალითს და დავუშვებთ, რომ \( p=0.3 \), მაშინ 5 ცდაში 3 წარმატების მიღწევის ალბათობა იქნება: $$ P(3 \,\, წარმატება \,\, 5 \,\, ცდაში)=f(3)=C_3^5*0.3^3*(1-0.3)^{5-3}=100.027*0.49=0.1323 $$

მაგალითი. ურნაში 7 შავი და 3 თეთრი ბურთია. თუკი ჩავატარებთ ექსპერიმენტს, სადაც ურნიდან 5-ჯერ ამოვიღებთ ბურთს და ყოველი ამოღების შემდეგ მას ისევ უკან ჩავაბრუნებთ, რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ მხოლოდ ორჯერ ამოვა თეთრი ბურთი?

ამოხსნა. თეთრი ბურთის ამოღება შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ “წარმატებად”. მაშინ ცხადია, რომ წარმატების ალბათობა 0.3-ია და ის უცვლელია ყოველ ცდაში, რადგან ამოღებულ ბურთს ისევ უკან ვაბრუნებთ და თან 5-ვე ცდა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია. ე.ი. საქმე გვაქვს ბინომიალურ ექსპერიმენტთან: $$ n=5 $$ $$ x=2 $$ $$ P(X=x)=P(X=2)=C^5_2*0.3^2*0.7^3=0.3087$$