9.2. ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია

მიუხედავად იმისა, რომ კუმულატიური ალბათობის ფუნქციის მეშვეობით ჩვენ შეგვიძლია უწყვეტი ცვლადის ალბათობების დათვლა, ხშირად უფრო სასარგებლოა ალბათობის ამსახველი სხვა ტიპის ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია (ასფ, ალბათობის სიმკვრივე). ის, როგორც წესი, აღინიშნება \( f(x) \)-ით, ანუ იგივენაირად, როგორც დისკრეტული ცვლადის ალბათობის ფუნქცია. მაგრამ ეს უკანასკნელი პირდაპირ იძლეოდა ალბათობას იმისა, რომ დისკრეტული ცვლადის მნიშვნელობა გახდებოდა კონკრეტული სიდიდის ტოლი. არადა, როგორც შესავალში აღვნიშნეთ, უწყვეტი ცვლადის შემთხვევაში კონკრეტული მნიშვნელობის მიღების ალბათობა ნულია. სწორედ ამიტომ განიმარტება ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია: მისი სიდიდე რაიმე \( x_0 \) წერტილში, \( f(x_0) \), ირიბად ახასიათებს შესაძლებლობას იმისა, რომ შესაბამისი \( X \) ცვლადი მნიშვნელობას მიიღებს \( x_0 \)-ის სიახლოვეს. მაშასადამე, თუკი რაიმე სხვა \( x_1 \) წერტილში სიმკვრივე \( f(x_1) \) მეტია \( f(x_0) \)-ზე, მაშინ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ცვლადი უფრო მაღალი ალბათობით მიიღებს მნიშვნელობას \( x_1 \)-ის მიდამოში, ვიდრე \( x_0 \)-ის მიდამოში.

თუკი უფრო ზუსტნი ვიქნებით, ალბათობასთან ასოცირდება ასფ-ის გრაფიკის ქვეშ არსებული ფართობი. ისევე, როგორც ალგებრაში ვართ მიჩვეულნი, ასფ-ის გრაფიკი მრუდს წარმოადგენს და სტატისტიკოსები საზოგადოდ მას ზარისებრ ფორმას აძლევენ თვალსაჩინოებისთვის (თუ რატომ, ამას შემდეგში ვიხილავთ):

9.2.1. ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციის გრაფიკი

კალკულუსიდან ცნობილია, რომ ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ არსებული ფართობი შეიძლება გაიზომოს ინტეგრალით. მოვიყვანოთ ფორმალური განმარტება:

განსაზღვრება 9.2. ვთქვათ, მოცემულია \( X \) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი და \( x \) არის რაიმე რიცხვი, რომელიც მდებარეობს ამ ცვლადის შესაძლო მნიშვნელობათა არეში. \( X \)-ის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია, \( f(x) \), ეწოდება ფუნქციას, რომელსაც აქვს შემდეგი თვისებები:

1. \( f(x)>0 \), \( x \)-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობისათვის;
2. ასფ-ის გრაფიკის ქვეშ არსებული მთლიანი ფართობი 1.0-ის ტოლია;
3. დავუშვათ, ასფ-ის გრაფიკზე \( a \) და \( b \) წერტილები აღნიშნავენ \( X \) შემთხვევითი ცვლადის ორ შესაძლო მნიშვნელობას, თანაც \( a<b \). მაშინ ალბათობა იმისა, რომ \( X \) მდებარეობს \( a \)-სა და \( b \)-ს შორის, არის ასფ-ის გრაფიკის ქვეშ არსებული ფართობი აღნიშნულ ორ წერტილს შორის: $$ P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f(x)dx $$ 4. კუმულატიური განაწილების ფუნქცია, \( F(x_0) \), არის ასფ-ის ქვეშ მდებარე ფართობი \( x_0 \) წერტილამდე $$ F(x_0)=\int_{x_m}^{x_0} f(x)dx $$ სადაც \( x_m \) არის \( X \) შემთხვევითი ცვლადის მინიმალური მნიშვნელობა.

აღნიშნული განსაზღვრების უკეთესად აღსაქმელად, იხილეთ ქვემოთ მოყვანილი გრაფიკები. მათზე ალბათობის შესაბამისი სეგმენტების ფართობები ფერადად არის მოცემული:

9.2.2. წითელი ფერის სეგმენტის ფართობი შეესაბამება P(X < a)-ს

9.2.3. მწვანე სეგმენტის ფართობი შეესაბამება P(X > a)-ს

9.2.4. ყვითელი სეგმენტის ფართობი შეესაბამება P(a< X < b)-ს

სხვათა შორის, როგორც წინა ქვეთავში ვიხილეთ, 9.2.4 გრაფიკზე ყვითელი სეგმენტის ფართობის შესაბამისი ალბათობა შესაძლებელია გამოთვლილ იქნეს შემდეგნაირად: $$ P(a<X<b)=P(X<b)-P(X<a) $$ მართლაც, თუკი ჯერ გამოვთვლით \( b \)-ს მარცხნივ არსებული მთლიანი სეგმენტის ფართობს და მას გამოვაკლებთ \( a \)-ს მარცხნივ არსებული მთლიანი სეგმენტის ფართობს, ბუნებრივია, მივიღებთ \( a \)-სა და \( b \)-ს შორის არსებული სეგმენტის ფართობს, ანუ ალბათობას იმისა, რომ \( X \) ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას \( (a; b) \) ინტერვალზე. ამ თვისებას ჩვენ მომავალში ხშირად გამოვიყენებთ პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნისას.