8.1. ბერნულის შემთხვევითი ცვლადი და მისი ალბათური განაწილება

წარმოვიდგინოთ შემთხვევითი ექსპერიმენტი, რომელსაც გააჩნია ორი ურთიერთგამომრიცხავი და ერთობლივად ამომწურავი შედეგი. შედეგებს პირობითად ვუწოდოთ „წარმატება“ და „მარცხი“ (მაგალითად, მონეტის აგდებისას საფასურის მოსვლა შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც “წარმატება”). აღვნიშნოთ \( p \)-თი ალბათობა იმისა, რომ შედეგი იქნება „წარმატება“ და მაშინ ცხადია, რომ „მარცხის“ ალბათობა იქნება \( (1-p) \). განვსაზღვროთ ასევე შემთხვევითი ცვლადი \( X \), რომელიც მიიღებს 1-ის ტოლ მნიშვნელობას, თუ ექსპერიმენტის შედეგი იქნება „წარმატება“ და იქნება 0-ის ტოლი წინააღმდეგ შემთხვევაში. მაშინ ალბათური განაწილების ფუნქციას ექნება შემდეგი სახე: $$ P(X=1)=p, \quad P(X=0)=1-p $$ ან ალბათობის ფუნქციის გამოყენებით: $$ f(1)=p, \quad f(0)=1-p $$ შემთხვევითი ცვლადის ალბათობათა ასეთი ტიპის განაწილებას ბერნულის განაწილება ეწოდება. მისი საშუალო (მათემატიკური ლოდინი) და დისპერსია უდრის: $$ E(X) \equiv \mu=\sum_{x}{xf(x)}=0*(1-p)+1*p=p $$ $$ Var(X) \equiv \sigma^2(X)=\sum_{x}{(x-\mu)^2f(x)}=(0-p)^2*(1-p)+(1-p)^2*p=p(1-p) $$ მაგალითი. უძრავი ქონების აგენტმა იცის, რომ გარიგების დადების („წარმატების“) ალბათობა 0.4-ის ტოლია, ხოლო გარიგების ჩაშლის კი – 0.6. აღვნიშნოთ \( X \)-ით შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც მიიღებს 1-ის ტოლ მნიშვნელობას წარმატებისას და 0-ს – მარცხისას. რას უდრის საშუალო და დისპერსია?

ამოხსნა. ბერნულის ალბათური განაწილების ფუნქცია (ალბათობის ფუნქცია): $$ f(1)=0.4, \quad f(0)=0.6 $$ ბერნულის განაწილების საშუალო (მათემატიკური ლოდინი): $$ E(X)=p=0.4 $$ დისპერსია: $$ \sigma^2(X)=p(1-p)=0.4*(1-0.4)=0.24 $$