გაურკვეველ გარემოში პრობლემათა ალბათობის დასადგენად, უნდა გავეცნოთ ისეთ განსაზღვრებებს და ტერმინებს, როგორიცაა შემთხვევითი ექსპერიმენტი, ხდომილება და ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცე.

შემთხვევითი ექსპერიმენტი ეწოდება პროცესს, რომელსაც აქვს ორი ან მეტი წინასწარ განუსაზღვრელი შედეგი.

შემთხვევითი ექსპერიმენტის მაგალითებია:

• მონეტის აგდება გერბის ან საფასურის შესაძლო შედეგით (შედეგი წინასწარ განუსაზღვრელია, რადგან ან გერბი ამოვა, ან საფასური)
• კომპანია „ალფას“ მაგალითში, კომპანიის მიერ $ 0 $-დან $ 5 $ კონტრაქტამდე მოგების შესაძლებლობა (შედეგი წინასწარ განუსაზღვრელია, რადგან 0-დან 5-მდე ნებისმიერი რაოდენობაა შესაძლებელი)
• ადამიანთა რაოდენობა, რომლების განთავსდება საავადმყოფოს გადაუდებელი დახმარების პალატაში ნებისმიერი ერთი საათის განმავლობაში (შედეგი წინასწარ განუსაზღვრელია, რადგან პაციენტთა ნებისმიერი რაოდენობაა შესაძლებელი)
• 6-წახნაგიანი კამათლის გაგორება (შედეგი წინასწარ განუსაზღვრელია, რადგან ნებისმიერი წახნაგის ამოსვლაა შესაძლებელი)

ყოველ ზემოაღნიშნულ შემთხვევით ექსპერიმენტში ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ შესაძლო შედეგები, რომლებსაც ელემენტარული ხდომილებები ეწოდება. მაგალითად, ელემენტარული ხდომილებაა (შედეგია) ორი ადამიანის განთავსება საავადმყოფოში ან გერბის ამოსვლა მონეტის აგდების შედეგად.

შემთხვევითი ექსპერიმენტის შესაძლო შედეგებს ელემენტარული ხდომილებები (basic outcomes) ეწოდება, ხოლო ყველა ელემენტარული ხდომილების სიმრავლეს – ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცე (sample space). ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცის აღსანიშნავად ჩვენ გამოვიყენებთ სიმბოლოს $ S $.

მნიშვნელოვანია იმის აღნიშვნა, რომ:

• არ შეიძლება ერთდროულად ადგილი ჰქონდეს ნებისმიერ ორ ან მეტ ელემენტარულ ხდომილებას;
• შემთხვევითი ექსპერიმენტი აუცილებლად უნდა დასრულდეს ერთ-ერთი ელემენტარული ხდომილებით.

მაგალითად, 6-წახნაგიანი კამათლის გაგორების შედეგად მიღებული ელემენტარული ხდომილებები არის ექვსი სხვადასხვა შესაძლო ციფრი, ამიტომ ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცე იქნება $$ S = {1,2,3,4,5,6} $$

$ S $ შეიცავს ექვს ელემენტარულ ხდომილებას. მათგან არც ერთ წყვილს შეიძლება ერთდროულად ჰქონდეს ადგილი და, ამასთან, ამ ექვსიდან ერთ-ერთი აუცილებლად უნდა მოხდეს.
ხშირ შემთხვევაში ჩვენ გვაინტერესებს ელემენტარულ ხდომილებათა რაღაც ქვესიმრავლე და არა ცალკეული ელემენტარული ხდომილება. მაგალითად, კამათლის გაგორებისას ჩვენ შეიძლება გვაინტერესებდეს, არის თუ არა შედეგი ლუწი – ე.ი. $ 2, 4 $ ან $ 6 $.

ხდომილება არის ელემენტარულ ხდომილებათა ნებისმიერი ქვესიმრავლე $ S $ სივრციდან. ხდომილებას აქვს ადგილი მაშინ, თუ შემთხვევითი ექსპერიმენტი სრულდება ამ ხდომილების შესაბამისი ელემენტარული ხდომილებით. შეუძლებელი ხდომილება (null event) გულისხმობს ელემენტარულ ხდომილებათა არარსებობას და აღინიშნება ∅ სიმბოლოთი.

მაშასადამე, თუკი $ A $-თი აღვნიშნავთ კამათელზე ლუწი რიცხვის ამოსვლის ხდომილებას და, გაგორების შედეგად, $ 2, 4 $ ან $ 6 $-დან ერთ-ერთი მათგანი მართლაც ამოვა, ჩვენ ვიტყვით, რომ ადგილი ჰქონდა $ A $ ხდომილებას.

ზოგიერთ შემთხვევაში ჩვენ გვაინტერესებს ორი ან მეტი ხდომილების ერთდროულად განხორციელების ალბათობა. მაგალითად, კამათლის გაგორებისას ორი განსახილველი ხდომილება შეიძლება იყოს „ლუწი რიცხვი“ და „$ 4 $-ზე არანაკლები რიცხვი“. ადვილი მისახვედრია, რომ ორ ხდომილებას ერთდროულად მხოლოდ მაშინ შეიძლება ჰქონდეს ადგილი, თუკი მათ საერთო ელემენტარული ხდომილება გააჩნია და სწორედ ის აღმოჩნდება შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგი. მაგალითად, ზემონახსენებ მაგალითში $ 6 $-ის გაგორებით ორივე ხდომილება მოხდება: ამოვა „ლუწი რიცხვიც“ და „$ 4 $-ზე არანაკლები რიცხვიც“.

ელემენტარულ ხდომილებათა ქვესიმრავლეს, რომელიც ხდომილებათა ჯგუფის თითოეულ წევრს (ხდომილებას) მიეკუთვნება, ეწოდება ხდომილებათა თანაკვეთა. ასე, მაგალითად, თანაკვეთა ზემოხსენებული ხდომილებებისათვის „ლუწი რიცხვი“ და „$ 4 $-ზე არანაკლები რიცხვი“ არის კამათლის რიცხვები $ 4 $ და $ 6 $.

ვთქვათ, $ A $ და $ B $ არის ორი ხდომილება ელემენტარულ ხდომილებათა $ S $ სივრცეში. მათი თანაკვეთა, $ A \cap B $, არის ელემენტარულ ხდომილებათა ქვესიმრავლე $ S $-ში, რომელიც მიეკუთვნება როგორც $ A $-ს, ისე $ B $-ს. $ A $-სა და $ B $-ს თანაკვეთის ალბათობის აღსანიშნავად ჩვენ ზოგჯერ გამოვიყენებთ $ A $-სა და $ B $-ს ერთობლივი ალბათობის (joint probability) ტერმინსაც.

საზოგადოდ, მოცემული $ k $ ცალი ხდომილების, $ E_1,E_2,…,E_k $, თანაკვეთა $ E_1 \cap E_2 \cap … \cap E_k $ არის ყველა ელემენტარული ხდომილების ქვესიმრავლე, რომლებიც მიეკუთვნება თითოეულ $ E_i $-ს ($ i = 1,2,…,k $).

შესაძლებელია, რომ ორი ხდომილების თანაკვეთა წარმოადგენდეს ცარიელ სიმრავლეს.

თუ $ A $ და $ B $ ხდომილებებს არ გააჩნია საერთო ელემენტარული ხდომილებები, მათ ეწოდება ურთიერთგამომრიცხავი (mutually exclusive) და მათ თანაკვეთა, $ A \cap B = ∅$.

საზოგადოდ, მოცემულ $ k $ ცალ ხდომილებას, $ E_1,E_2,…,E_k $ ეწოდება ურთიერთგამომრიცხავი, თუ მათი თითოეული წყვილი $ (E_i, E_j) $ ურთიერთგამომრიცხავ ხდომილებათა წყვილს წარმოადგენს.

ქვემოთ მოყვანილი ნახაზი ასახავს თანაკვეთებს ვენის დიაგრამის საშუალებით. დიაგრამის (ა) ნაწილი ასახავს $ S $ სივრცეს მართკუთხედის სახით, ხოლო ორი წრე წარმოადგენს $ A $ და $ B $ ხდომილებებს. მათი თანაკვეთა, $ A \cap B $, ასახულია დაშტრიხული ფართობით, სადაც ორი წრე თანაიკვეთება. დიაგრამის (ბ) ნაწილი ასახავს ურთიერთგამომრიცხავ ხდომილებებს.

რამდენიმე ხდომილების განხილვის დროს ინტერესის საგანს აგრეთვე შეიძლება წარმოადგენდეს იმის შესაძლებლობა, რომ ერთ-ერთი ხდომილება მაინც განხორციელდება. აღნიშნულს ადგილი ექნება, თუ შემთხვევითი ექსპერიმენტის ელემენტარული ხდომილება მიეკუთვნება ამ ხდომილებათაგან ერთ-ერთს მაინც. ელემენტარულ ხდომილებათა სიმრავლეს, რომელიც მიეკუთვნება სულ ცოტა ერთ ხდომილებას, ეწოდება ხდომილებათა გაერთიანება. მაგალითად, კამათლის გაგორებისას ელემენტარული ხდომილებები $ 2, 4, 5, 6 $ მიეკუთვნებიან სულ ცოტა ერთ-ერთს ორი ხდომილებიდან „ლუწი რიცხვი“ და „რიცხვი არანაკლებია $ 5 $-ზე“.

ვთქვათ, $ A $ და $ B $ არის ელემენტარულ ხდომილებათა $ S $ სივრცის ორი ხდომილება. მათი გაერთიანება, $ A \cup B $, არის ელემენტარულ ხდომილებათა ქვესიმრავლე $ S $-ში, რომელიც მიეკუთვნება ამ ხდომილებათაგან ერთ-ერთს მაინც. ამგვარად, $ A \cup B $ გაერთიანებას აქვს ადგილი, თუ ან $ A $, ან $ B $, ან ორივე ხდომილება განხორციელდება.

საზოგადოდ, მოცემული $ k $ ცალი ხდომილების, $ E_1,E_2,…,E_k $ გაერთიანება $ E_1 \cup E_2 \cup … \cup E_k $ არის ყველა ელემენტარული ხდომილების ქვესიმრავლე, რომლებიც მიეკუთვნება $ k $ ხდომილებათაგან ერთ-ერთს მაინც.

თუ ხდომილებათა გაერთიანება ფარავს ელემენტარულ ხდომილებათა მთელ $ S $ სივრცეს, ამგვარ ხდომილებებს უწოდებენ კოლექტიურად (ერთობლივად) ამომწურავს. მაგალითად, კამათლის გაგორებისას ხდომილებები „შედეგი არანაკლებია 3-ზე“ და „შედეგი არაუმეტესია 5-ზე“ არის კოლექტიურად ამომწურავი.

თუ $ S $ სივრცეში მოცემულია $ k $ ცალი ხდომილება, $ E_1,E_2,…,E_k $ ისე, რომ $ E_1 \cup E_2 \cup … \cup E_k = S $, ამგვარ ხდომილებებს ეწოდება კოლექტიურად (ერთობლივად) ამომწურავი.

ცხადია, რომ შემთხვევითი ექსპერიმენტის ყველა ელემენტარული ხდომილება არის როგორც ურთიერთგამომრიცხავი, ასევე კოლექტიურად ამომწურავი.

დავუშვათ, რომ ჩვენი ინტერესის საგანს წარმოადგენს ყველა ელემენტარული ხდომილება, რომლებიც არ მიეკუთვნება რაიმე $ A $ ხდომილებას.

ვთქვათ $ A $ არის $ S $ სივრცის ხდომილება. შემთხვევითი ექსპერიმენტის ელემენტარულ ხდომილებათა სიმრავლეს, რომელიც მიეკუთვნება $ S $-ს, მაგრამ არ მიეკუთვნება $ A $-ს, ეწოდება $ A $-ს დამატება (complement) და აღინიშნება $ \bar{A} $-თი.

ნათელია, რომ ხდომილებები $ A $ და $ \bar{A} $ ურთიერთგამომრიცხავია: არც ერთი ელემენტარული ხდომილება შეიძლება მიეკუთვნებოდეს ორივეს. ამასთან, ისინი კოლექტიურად ამომწურავიცაა: ნებისმიერი ელემენტარული ხდომილება უნდა მიეკუთვნებოდეს ერთ ან მეორე ხდომილებას.

ქვემოთ მოყვანილი ნახაზი ასახავს ხდომილებათა გაერთიანებას (ა) და ხდომილების დამატებას (ბ) ვენის დიაგრამების გამოყენებით.

მაგალითი. კამათლის გაგორებისას $ A $ ხდომილებაა „ლუწი რიცხვი“, $ B $ ხდომილება – „რიცხვი არანაკლებია 4-ზე“. მაშინ, ცხადია $$ A = [2,4,6]; B = [4,5,6]. $$ იპოვეთ:

ა) თითოეული ხდომილების დამატება;

ბ) $ A $ და $ B $ ხდომილების თანაკვეთა და გაერთიანება;

გ) $ \bar{A} $ და $ B $-ს გაერთიანება.

ამოხსნა.
ა) $ A $ და $ B $ ხდომილებების დამატებებია, შესაბამისად, $ \bar{A}=[1,3,5] $ და $ \bar{B}=[1,2,3] $;

ბ) $ A \cap B= [4,6], A \cup B = [2,4,5,6] $;

გ) $ \bar{A} \cup B=[1,3,5] \cup [4,5,6]=[1,3,4,5,6]. $

ქვემოთ მოყვანილია გაერთიანების და თანაკვეთის $ 3 $ შედეგი. აღნიშნული შედეგების უკეთ აღსაქმელად, გამოიყენეთ ვენის დიაგრამები.

• $ (A \cap B) \cup (A \cup \bar{B}) = A $
• $ A \cup ( \bar{A} \cap B) = A \cup B $
• ვთქვათ, მოცემულია $ k $ რაოდენობის ურთიერთგამომრიცხავი და კოლექტიურად ამომწურავი ხდომილებები, $ E_1,E_2,…,E_k $ და რაიმე $ A $ ხდომილება. მაშინ $ k $ რაოდენობის ხდომილებები, $ E_1 \cap A, E_2 \cap A, …, E_k \cap A $ არიან ურთიერთგამომრიცხავი და მათი გაერთიანება არის $ A $, ე. ი. $ (E_1 \cap A) \cup (E_2 \cap A) \cup … \cup (E_k \cap A) = A. $