10.1. ნორმალური განაწილების ალბათური სიმკვრივე

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ნორმალური განაწილება მრავალი შემთხვევითი პროცესის ალბათური განაწილების კარგ მიახლოებას წარმოადგენს. კერძოდ, ცნობილია, რომ ხშირად სათადარიგო ნაწილების ზომები ან სურსათის შეფუთვის წონები ნორმალურად არის განაწილებული, რაც ხარისხის კონტროლის ამოცანებს გვიადვილებს. აგრეთვე, მთლიანი გაყიდვები და აქციათა ფასების ზოგიერთი მახასიათებელი ხშირად ნორმალურ განაწილებას ექვემდებარება და პროგნოზირების მოდელები სწორედ ამ ტიპის განაწილებაზეა დაფუძნებული.

გარდა ზემოხსენებულისა, ნორმალურ განაწილებას ძალიან საინტერესო და სასარგებლო მათემატიკური თვისებები აქვს, რაც მისი გამოყენების მიზანშეწონილობას დამატებით განაპირობებს. ამასთან, ნორმალური ცვლადისთვის ალბათობათა გამოთვლა საკმაოდ მარტივია, რასაც შემდეგ ქვეთავში ვიხილავთ. მანამდე კი განვმარტოთ შესაბამისი ალბათური სიმკვრივის ფუნქცია:

განსაზღვრება 10.1.1. ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია მოიცემა როგორც $$ f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2π}} e^{-\frac{1}{2} (\frac{x-\mu}{\sigma})^2}$$ სადაც \( \mu \) და \( \sigma \) ცვლადის საშუალო და სტანდარტული გადახრაა, ხოლო \( e \) და \( \pi \) კი მუდმივებია: \( e \) = 2.71828…, \( \pi \) = 3.14159…

ნორმალური განაწილების ალბათური სიმკვრივის ფუნქციის გრაფიკი არის ზარისებრი ფორმის და იმავდროულად სიმეტრიული ფუნქცია საკუთარი განლაგების ცენტრის მიმართ:

გრაფიკი 10.1.1. ნორმალური განაწილების ალბათური სიმკვრივე და მისი პარამეტრები

საზოგადოდ, საშუალოსადმი სიმეტრიულობა ნიშნავს, რომ საშუალოდან თანაბრად (დავუშვათ, რაიმე \( k \) მანძილით) დაშორებული მნიშვნელობებისათვის, სამართლიანია შემდეგი ტოლობები: $$ f(\mu-k)=f(\mu+k) $$ $$ P(X<\mu-k)=P(X>\mu+k) $$ ეს ბოლო ტოლობა შეგვიძლია ცხადად ვიხილოთ შემდეგ გრაფიკზე, სადაც მწვანედ მონიშნული სეგმენტების ფართობები აუცილებლად ტოლი უნდა იყოს სიმეტრიულობიდან გამომდინარე:

გრაფიკი 10.1.2. მწვანედ მონიშნული მარცხენა სეგმენტის ფართობია P(X<μ-k), ხოლო მარჯვენა სეგმენტის ფართობი კი P(X>μ+k)

ნორმალური განაწილება ერთმნიშვნელოვნად განისაზღვრება \( \mu \) და \( \sigma \) პარამეტრებით, რაც ფაქტიურად ნიშნავს იმას, რომ ამ პარამეტრების ცვლილებით შეგვიძლია მივიღოთ ახალი ნორმალური განაწილება, რომელსაც უბრალოდ განსხვავებული განლაგების ცენტრი და/ან გაშლილობა ექნება. კერძოდ, \( \mu \)-ს გაზრდით (შემცირებით) განაწილება პარალელურად გადაადგილდება მარჯვნივ (მარცხნივ), ხოლო \( \sigma \)-ს გაზრდით (შემცირებით) კი განაწილება გაიფანტება (შევიწროვდება). ქვემოთ ნახაზზე წითელსა და მწვანე ნორმალურ განაწილებებს ტოლი საშუალო, მაგრამ განსხვავებული სტანდარტული გადახრა აქვთ, ხოლო წითელსა და ყვითელ განაწილებებს კი – განსხვავებული საშუალო, მაგრამ ტოლი სტანდარტული გადახრა:

გრაფიკი 10.1.3. ნორმალური განაწილებები განსხვავებული პარამეტრებით

საზოგადოდ, ის ფაქტი, რომ რაიმე \( X \) ცვლადი განაწილებულია ნორმალურად \( \mu \) საშუალოთი და \( \sigma^2 \) დისპერსიით, ჩაიწერება შემდეგნაირად: $$ X \sim N(\mu,\sigma^2) $$