10.2. ნორმალური ცვლადისთვის ალბათობების გამოთვლა

ბუნებრივია, რომ, ისევე როგორც ნებისმიერი უწყვეტი განაწილებისთვის, ნორმალური განაწილების შემთხვევაშიც ადგილი აქვს ტოლობას: $$ P(a < X < b) = F(b) – F(a) $$ შესაბამისად, ჩვენს ამოცანას წარმოადგენს ნორმალური ცვლადისთვის კუმულატიური ალბათობის პოვნა. თუ გავიხსენებთ, რომ კუმულატიური განაწილების ფუნქცია წარმოადგენს ასფ-ის ინტეგრალს $$ F(x_0)=\int_{x_{min}}^{x_0} f(x) \, dx $$ ალბათობის პოვნის ამოცანა არც ისე მარტივი ჩანს, ნორმალური ასფ-სთვის ინტეგრალის ამოღებასთან დაკავშირებული ტექნიკური სირთულეების გამო. საბედნიეროდ, არსებობს უფრო მარტივი გზა ნორმალური განაწილების ალბათობის გამოსათვლელად. ამისათვის აუცილებელია:

  1. ნორმალურად განაწილებული \( X \) ცვლადის სტანდარტიზაცია;
  2. მიღებული სტანდარტული ცვლადისთვის შესაბამისი ალბათობის გამოთვლა მზა კუმულატიური ალბათობის ცხრილის მეშვეობით – ე.წ. \( Z \)-ცხრილის მეშვეობით, რომელიც მოცემულია შემდეგ ქვეთავში.

საზოგადოდ, უწყვეტი ცვლადის სტანდარტიზაცია გულისხმობს მის წრფივ გარდაქმნას ა) საკუთარი საშუალოს გამოკლებით და ბ) მიღებული შედეგის სტანდარტულ გადახრაზე გაყოფით: $$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} $$ შედეგად ვიღებთ \( Z \) სტანდარტიზებულ ნორმალურ ცვლადს, რომლის საშუალო 0-ის, ხოლო სტანდარტული გადახრა კი 1-ის ტოლია: $$ Z \sim N(0,1) $$

თუმცა უფრო მეტად საინტერესო არის ის, რომ \( X \) ნორმალური ცვლადისთვის საძიებელი ალბათობა ემთხვევა \( Z \) სტანდარტიზებული ნორმალური ცვლადის შესაბამის ალბათობას: მაგალითად, თუკი \( a \) რაიმე რიცხვია და გვაინტერესებს გამოვთვალოთ \( P(X<a) \), მაშინ ამისათვის საკმარისია გამოვთვალოთ $$ P \left( Z<\frac{a-\mu}{\sigma} \right) $$ ანუ მოვახდინოთ არამარტო \( X \) ცვლადის წრფივი გარდაქმნა (სტანდარტიზაცია), არამედ თავად \( a \) სიდიდისაც და შემდგომ კი მიღებული უტოლობის ალბათობა გამოვთვალოთ \( Z \) ცვლადის კუმულატიური ალბათობების ცხრილის დახმარებით (იხილეთ აქ).

\( Z \) ნორმალური ცვლადის ალბათური სიმკვრივის ფუნქცია, ცხადია, სიმეტრიულია 0-ის მიმართ და ამიტომ, ნებისმიერი \( b \) რიცხვისთვის ადგილი აქვს შემდეგ თანაფარდობებს:

  1. \( P(Z>b)=1-P(Z<b) \)
  2. \( P(Z>-b)=P(Z<b) \)
  3. \( P(Z<-b)=1-P(Z<b) \)

მაგალითი. კლიენტი ფლობს საინვესტიციო პორტფელს, რომლის საშუალო ღირებულება არის \( 500 \, 000 \) ლარი, ხოლო სტანდარტული გადახრა კი \( 15 \, 000 \) ლარი. იმ დაშვებით, რომ პორტფელის ღირებულება ემორჩილება ნორმალური განაწილების კანონს, კლიენტმა გთხოვათ დაგეთვალათ ალბათობა იმისა, რომ სამომავლოდ პორტფელის ღირებულება \( 520 \, 000 \) ლარზე ნაკლები დარჩება.

ამოხსნა. ამოცანის ამოსახსნელად, პირველ რიგში, აუცილებელია პორტფელის \( 520 \, 000 \) ლარიანი ღირებულების შესაბამისი \( Z \)-მნიშვნელობის გამოთვლა: $$ z=\frac{520\,000-500\,000}{15\,000} \approx 1.33 $$ ამრიგად, $$ P(X<520\,000)=P(Z<1.33)=F(1.33)=0.9082 $$ სადაც \( X \)-ით აღვნიშნეთ პორტფელის ღირებულების ცვლადი, ხოლო ალბათობა მოძიებულ იქნა \( Z \)-ცხრილში.

მაგალითი. წინა მაგალითის მოცემულობით დავითვალოთ ალბათობა იმისა, რომ სამომავლოდ კლიენტის პორტფელის ღირებულება გადააჭარბებს \( 540\,000 \) ლარს.

ამოხსნა. გვექნება, რომ $$ P(X>540\,000)=P \left( Z>\frac{540\,000-500\,000}{15\,000} \right) \approx P(Z>2.67)=$$ $$ =1-P(Z<2.67)=1-F(2.67)=1-0.9962=0.0038 $$

მაგალითი. სტუდენტთა დიდი ჯგუფისათვის ტესტის შედეგები არის ნორმალურად განაწილებული, \( 60 \)-ის ტოლი საშუალოთი და \( 15 \)-ის ტოლი სტანდარტული გადახრით. სტუდენტთა რამდენ პროცენტს აქვს მიღებული ქულები \( 85 \)-სა და \( 90 \)-ს შორის შუალედში?

ამოხსნა. ვთქვათ, \( X \) აღნიშნავს ტესტში მიღებულ ქულებს. მაშინ საძიებელი პროცენტი შემდეგ ალბათობას შეესაბამება: $$ P(85≤X≤90)=P \left( \frac{85-60}{15} ≤Z ≤\frac{95-60}{15} \right)=P(1.67<Z<2.33)=$$ $$=F(2.33)-F(1.67)=0.9901-0.9525=0.0376 $$ ე.ი. სტუდენტთა \( 3.76\% \)-ს აქვს მიღებული ქულები \( 85 \)-დან \( 90 \)-მდე შუალედში.

მაგალითი. წინა მაგალითისთვის, იპოვეთ რა ქულა უნდა მიიღოს სტუდენტმა, რათა საუკეთესო \( 10\% \)-ში მოხვდეს.

ამოხსნა. საძიებელი ზღვარი აღვნიშნოთ \( a \)-თი. მაშინ მასზე მაღალი შედეგის მიღების ალბათობა უნდა იყოს სწორედ \( 10\% \): \( 0.10=P(x > a) \). აგრეთვე, ალბათობა იმისა, რომ ტესტში მიღებული შედეგი \( a \)-ზე ნაკლებია, \( 1-0.10=0.90 \)-ს შეადგენს: $$ 0.90=P(X<a)=P \left(Z < \frac{a-60}{15} \right)=F \left( \frac{a-60}{15} \right) $$ \( Z \)-ცხრილიდან ვპოულობთ, რომ როდესაც კუმულატიური ალბათობა \( 0.90 \)-ია, მისი შესაბამისი \( z \)-მნიშვნელობა უდრის \( 1.28 \)-ს. აქედან გამომდინარე, $$ \frac{a-60}{15}=1.28 → a = 79.2 $$ ამგვარად, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სტუდენტების 10% გამოცდაში იღებს \( 79.2 \) ქულაზე მეტი და სწორედ ეს უკანასკნელი წარმოადგენს საძიებელ ზღვარს.

მაგალითი. \( X \) განაწილებულია ნორმალურად \( 15 \)-ის ტოლი საშუალოთი და უცნობი სტანდარტული გადახრით. ცნობილია, რომ \( P(X<14)=0.0901 \). იპოვეთ სტანდარტული გადახრა.

ამოხსნა. (პირველი გზა) \( 0.0901 \)-ის ტოლ ალბათობას \( Z \)-ცხრილში ვერ მოვიძიებთ (ცხრილში კუმულატიური ალბათობები იწყება \( 0.5000 \)-დან). ამიტომ გვჭირდება დამატებითი გარდაქმნები ამოცანის ამოსახსნელად. გავიხსენოთ, რომ ნორმალური განაწილება სიმეტრიული განაწილებაა საკუთარი საშუალოს მიმართ. ამიტომ რიცხვი \( 14 \) და რიცხვი \( 16 \) ერთნაირადაა დაშორებული საშუალოდან (ანუ \( 15 \)-დან) და შესაბამისად, შემდეგი ალბათობები ტოლია: $$ P(X<14)=P(X>16)=0.0901 $$ გამოვთვალოთ \( P(X<16) \): $$ P(X<16)=1-P(X>16)=1-0.0901=0.9099 $$ ე.ი. გვაქვს, რომ $$ P(X<16)=0.9099 $$ \( 0.9099 \)-ის ტოლი ალბათობა კი უკვე შესაძლებელია მოძიებულ იქნას ცხრილში, სადაც მისი შესაბამისი \( z \)-მნიშვნელობაა \( 1.34 \). გვაქვს, რომ: $$ P(X<16)=P \left( X<\frac{16-15}{\sigma_x} \right)=0.9099 → $$ $$ → \frac{1}{\sigma_x}=1.34 → $$ $$ \sigma_x=1/1.34=0.746 $$
ამოხსნა (მეორე გზა). გარდავქმნათ \( P(X<14) \): $$ P(X<14)=P \left( Z<\frac{14-15}{\sigma_x} \right)=P \left( Z<\frac{-1}{\sigma_x} \right)=0.0901 $$ \( -1/\sigma_x \) უარყოფითი სიდიდეა, ამიტომ მისთვის ცხრილს ვერ გამოვიყენებთ, მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ როცა სტანდარტიზებული \( z \)-მნიშვნელობა უარყოფითია, მაშინ „მინუსი წინ გამოდის“ და წინ ეწერება 1-იანი (იხილეთ ზემოთ სტანდარტიზებული შემთხვევითი ცვლადისთვის თანაფარდობები): $$ P \left( Z<\frac{-1}{\sigma_x} \right)=1-P \left( Z< \frac{1}{\sigma_x} \right) → $$ $$ P \left( Z< \frac{1}{\sigma_x} \right)=1-P \left( Z<\frac{-1}{\sigma_x} \right)=1-0.0901=0.9099 $$ ანუ გვაქვს, რომ $$ P \left( Z< \frac{1}{\sigma_x} \right)=0.9099 $$ \( 1/\sigma_x \) დადებითი სიდიდეა, ხოლო \( 0.9099 \) კი ცხრილში იძებნება და მისი შესაბამისი \( z \)-მნიშვნელობაა \( 1.34 \). ე.ი. $$ \frac{1}{\sigma_x}=1.34 $$ $$ \sigma_x=\frac{1}{1.34}=0.746 $$

მაგალითი. \( X \) განაწილებულია ნორმალურად \( 3 \)-ის სტანდარტული გადახრითა და უცნობი საშუალოთი. ცნობილია, რომ \( P(X<10)=0.025 \). იპოვეთ საშუალო.

ამოხსნა. \( 0.025 \)-ის ტოლ ალბათობას ცხრილში ვერ მოვიძიებთ. ამიტომ გვჭირდება დამატებითი გარდაქმნები ამოცანის ამოსახსნელად. გარდავქმნათ \( P(X<10) \): $$ P(X<10)=P \left( Z<\frac{10-\mu}{3} \right)=0.025 $$ რამდენადაც \( 0.025<0.5 \), ამიტომ \( (10-\mu)/3<0 \) და $$ P \left( Z<\frac{10-\mu}{3} \right)=1-P \left( Z<\frac{\mu-10}{3} \right)=0.025 $$ აქედან გვექნება, რომ $$ P \left( Z<\frac{\mu-10}{3} \right)=1-0.025=0.9750 $$ რამდენადაც \( (\mu-10)/3>0 \), მაშინ სრული უფლება გვაქვს გამოვიყენოთ ცხრილი და მოვძებნოთ \( 0.9750 \)-ის შესაბამისი \( z \)-მნიშვნელობა. გვაქვს, რომ $$ \frac{\mu-10}{3}=1.96 $$ და შესაბამისად, $$ \mu=15.88 $$