9.3. თანაბარი განაწილება

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ერთ-ერთ ყველაზე მარტივ შემთხვევას წარმოადგენს თანაბარი განაწილების მქონე შემთხვევითი ცვლადი. ის გამოიყენება ისეთი სიტუაციების მოდელირებისას, როცა დროის, მანძილის ან სხვა სიდიდის გარკვეულ ინტერვალში რაიმე მოვლენის მოხდენის შესაძლებლობა თანაბარია ინტერვალის ყველა წერტილში. ანუ ფაქტიურად, ეს ნიშნავს, რომ ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე თანაბარია ყველა წერტილში. ამასთან, აღნიშნული განაწილების დროს სიმკვრივე დამოკიდებულია მხოლოდ ინტერვალის სიგრძეზე.

მაგალითად, თანაბარი განაწილება შესაძლებელია გამოვიყენოთ მაშინ, როცა ქირურგი ამბობს, რომ მისი ოპერაცია ყოველთვის გრძელდება 60 წუთიდან 70 წუთამდე და ამ ინტერვალში ნებისმიერი ხანგრძლივობა თანაბრად შესაძლებელია.

განსაზღვრება 9.3.1. რაიმე \( a \)-სა და \( b \)-ს შორის ინტერვალზე თანაბარი განაწილების მქონე \( X \) შემთხვევითი ცვლადის \( f(x) \) ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია არის მუდმივი რიცხვი (ე.ი. გრაფიკულად ჰორიზონტალურ წრფეს წარმოადგენს) და \( 1/(b-a) \)-ს ტოლია (რადგან მისი გრაფიკის ქვეშ ფართობი 1.0-ია). ამ ინტერვალს მიღმა კი ასფ-ის მნიშვნელობა არის 0: $$ f(x)=\left\{\begin {matrix}\frac{1}{b-a}, & a<X<b\\ 0, & X<a, X>b\end{matrix}\right. $$

ქვემოთ მოცემულია თანაბარი განაწილების მქონე ცვლადის ასფ-ის გრაფიკი:

9.3.1. თანაბარი განაწილების ალბათობის სიმკვრივე (a; b) შუალედში

დამტკიცების გარეშე მოვიყვანთ თანაბარი განაწილების მქონე ცვლადის საშუალოსა და დისპერსიის გამოსათვლელ ფორმულებს: $$ E(X) \equiv μ_x=\frac{a+b}{2} $$ $$ σ^2(X)=\frac{(b-a)^2}{12} $$

მაგალითი. სარემონტო ბრიგადა პასუხისმგებელია ნავთობსადენის ავარიის ლიკვიდირებაზე 2 კმ-ის მანძილზე. თუ დავუშვებთ, რომ ავარიის მოხდენის ალბათობა ხასიათდება თანაბარი განაწილებით (ე.ი. ავარია შეიძლება მომხდარიყო ნებისმიერ წერტილში თანაბარი შესაძლებლობით), იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ავარიას ადგილი ჰქონდა ინტერვალზე 500 მეტრიდან 1500 მეტრამდე. ასევე გამოთვალეთ ავარიის მოხდენის წერტილის საშუალო, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა.

ამოხსნა. პირველ რიგში, ვიპოვოთ ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია \( f(х) \). კერძოდ, ნავთობსადენის 2-კილომეტრიან მანძილზე \( (a = 0, b = 2) \) ალბათობის სიმკვრივე იქნება \( f (x) = 1/(b-a)= 1/(2-0) = 0.5 \), ხოლო ალბათობა იმისა, რომ ავარიას ქონდა ადგილი 0.5 კმ-დან 1.5 კმ-მდე ინტერვალზე, იქნება ასფ-ის ქვეშ არსებული ფართობი შესაბამის ინტერვალზე (0.5-სა და 1.5-ს შორის), ე.ი. $$ P(0.5<X<1.5)=0.5*(1.5 – 0.5)=0.5 $$ ამრიგად, საძიებელი ალბათობა შეადგენს 50%-ს. შესაბამისი გრაფიკი შემდეგნაირად გამოიყურება:

საშუალო, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა იქნება: $$ E(X)=\frac{0+2}{2}=1 $$ $$ Var(X)=\frac{(2-0)^2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3} $$ $$ \sigma(X)=\sqrt{1/3} \approx 0.577 $$