7.1. შემთხვევითი ცვლადის ცნება

როდესაც შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგები რაოდენობრივი სიდიდეებია, ალბათობის გამოთვლა მოსახერხებელია შემთხვევითი ცვლადის გამოყენებით. ჩავატაროთ ასეთი ექსპერიმენტი: ავაგდოთ ორჯერ მონეტა და დავითვალოთ რამდენჯერ მოვა საფასური. სამ ხდომილებას შესაძლოა ჰქონდეს ადგილი:

  • \( A \): საფასური არც ერთხელ ამოვა;
  • \( B \): საფასური მხოლოდ ერთხელ ამოვა;
  • \( C \): საფასური ორჯერ ამოვა.

ადვილი სანახავია, რომ $$ P(A)=0.25, \quad P(B)=0.5, \quad P(C)=0.25 $$ როგორც ვხედავთ, ექსპერიმენტის შედეგების (ხდომილებების) აღსაწერად და მათი ალბათობების ჩასაწერად ლათინური ანბანის ასოები (\(A, B \) და \( C\)) გამოვიყენეთ. მაგრამ თუკი მონეტას უფრო მეტჯერ ავაგდებთ, ცხადია, რომ ხდომილებათა რაოდენობა გაიზრდება და შესაძლოა მოგვიწიოს ლათინური ანბანიდან ბევრად მეტი ასოების გამოყენება მათ აღსანიშნავად. არადა ასეთი ტიპის სიტუაციებში შემთხვევითი ცვლადის (დავუშვათ, \( X \)-ის) შემოღება საქმეს გაგვიადვილებს: ჩვენ მაგალითში \( A \) ხდომილების მაგივრად ჩავწერთ \( X=0 \)-ს, \( B \) ხდომილების მაგივრად – \( X=1 \)-ს, ხოლო \( C \) ხდომილების მაგივრად კი – \( X=2 \)-ს. ალბათობები კი შემდეგნაირად ჩაიწერება: $$ P(X=0)=0.25, \quad P(X=1)=0.5, \quad P(X=2)=0.25 $$

განსაზღვრება 7.1.1. შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ისეთ ცვლადს, რომელიც იღებს რაოდენობრივ მნიშვნელობებს განსაზღვრულს შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგად.

მნიშვნელოვანია ერთმანეთისგან გავარჩიოთ შემთხვევითი ცვლადი და ის ცალკეული მნიშვნელობები (შედეგები), რომელსაც ის იღებს. თავად შემთხვევითი ცვლადი, როგორც წესი, აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით, ხოლო მისი შესაძლო მნიშვნელობები კი – პატარა ლათინური ასოებით. მაგალითად, ზემოთ, მონეტის ორჯერ აგდებისას საფასურის ამოსვლათა რაოდენობების შესაბამისი შემთხვევითი ცვლადი აღვნიშნეთ \( X \) ასოთი, მაშინ ცალკეული შედეგები შესაძლებელია აღინიშნოს მცირე \( x \)-ით: \( x=\{0, 1, 2\} \).

აუცილებელია ასევე, რომ ერთმანეთისგან გავარჩიოთ დისკრეტული და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები.

განსაზღვრება 7.1.2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ისეთ შემთხვევით ცვლადს, რომელიც იღებს რაოდენობრივ მნიშვნელობებს თვლადი სიმრავლიდან.

მარტივად რომ ვთქვათ, თვლადი სიმრავლე გულისხმობს ისეთ რიცხვთა ერთობლიობას, როდესაც ნებისმიერი მათგანისთვის შესაძლებელია დასახელდეს წინა და შემდეგი ელემენტი ამავე სიმრავლიდან. ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლე თვლადია, რადგან, მაგალითად, რიცხვი 11-თვის წინა ელემენტი 10-ია, ხოლო მომდევნო კი – 12. რაც შეეხება ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს, იგი აშკარად არათვლადია, რადგან, დავუშვათ, 13.116-ისთვის მომდევნო და წინა ნამდვილი რიცხვის განსაზღვრა შეუძლებელია. შესაბამისად, ავტომაგისტრალზე დღეში მომხდარი ავტოავარიების რიცხვი თვლადია და დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადია, ხოლო თერმომეტრით გაზომილი ჰაერის ტემპერატურა კი არათვლადია, ზომვადია და უწყვეტ შემთხვევით ცვლადს წარმოადგენს.

განსაზღვრება 7.1.3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ისეთ შემთხვევით ცვლადს, რომელიც იღებს რაოდენობრივ მნიშვნელობებს ნამდვილ რიცხვთა რაიმე ინტერვალიდან.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მაგალითებია:
ა) შერჩეული 100 კომპიუტერიდან გამოვლენილ ხარვეზიან კომპიუტერთა რაოდენობა;
ბ) ქოლ-ცენტრში 1 საათში შემოსული ზარების რიცხვი;
გ) მონეტის აგდებათა რიცხვი, სანამ არ მოვა საფასური.

დავაკვირდეთ ბოლო (გ) მაგალითს. შევნიშნოთ, რომ მონეტის აგდება შესაძლოა უსასრულოდ მოგვიხდეს (სანამ არ მოვა საფასური) და შესაბამისად, შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა უსასრულოდ დიდი აღმოჩნდეს, მაგრამ მიუხედავად ამისა, შემთხვევითი ცვლადი მაინც დისკრეტულია.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მაგალითებია:
ა) ოჯახის წლიური შემოსავალი;
ბ) ნავთობის იმპორტის მოცულობა თვის განმავლობაში;
გ) დოუ-ჯონსის ინდექსის ცვლილება.

დავიმახსოვროთ, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში შეუძლებელია მის რომელიმე კონკრეტულ რიცხვით მნიშვნელობას (შედეგს) მივანიჭოთ არანულოვანი ალბათობა. მაგალითად, რა არის ალბათობა იმისა, რომ ხვალ ტემპერატურა იქნება ზუსტად 27.12C°? ან 13.48C°? ან 5C°? ცხადია, ამ შემთხვევებში ალბათობა იმდენად მცირეა, რომ ლოგიკურია ვიფიქროთ, რომ ის 0-ის ტოლია. თუმცა, სამაგიეროდ, განიხილავენ მნიშვნელობის მიღების ალბათობას გარკვეულ ინტერვალში, მაგალითად, წინადადება „ალბათობა იმისა, რომ ხვალ ტემპერატურა 27C°-დან 28C°-მდე იქნება, უდრის 0.3-ს“, სრულიად მისაღები და გამართლებულია. მაშასადამე, თუკი \( Y \) ტემპერატურის ამსახველი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადია, მაშინ \( P(Y=27) = 0 \), მაგრამ \( P(27<Y<28) = 0.3 \).