7.2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათური განაწილება

დავუშვათ, \( X \)-ით აღნიშნულია რაიმე შემთხვევითი ცვლადი, ხოლო \( x \)-ით კი – მისი შესაძლო მნიშვნელობები. საზოგადოდ, იმ ალბათობის აღწერას, რომლითაც \( X \) იღებს \( x \) მნიშვნელობებს, ეწოდება ამ ცვლადის ალბათური განაწილება. ალბათური განაწილების ალგებრულად აღსაწერად დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის განიმარტება ალბათობის ფუნქცია, ხოლო უწყვეტისთვის კი – ალბათური სიმკვრივის ფუნქცია (რომელსაც მომავალ თავში განვიხილავთ).

განსაზღვრება 7.2.1. \( X \) შემთხვევითი დისკრეტული ცვლადის ალბათობის ფუნქცია, \( f(x) \), წარმოადგენს არაუარყოფითი მთელი რიცხვის, \( x \)-ის, ფუნქციას და გამოსახავს ალბათობას იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი \( X \) მიიღებს \( x \)-ის ტოლ მნიშვნელობას: $$ f(x) = P(X = x) $$ნებისმიერი \( x \)-თვის განსაზღვრის არიდან.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის ფუნქციას ხშირად ალბათური მასის ფუნქციას უწოდებენ.

მაგალითი. გამოვსახოთ ალგებრულად, გრაფიკულად და ცხრილის სახით მონეტის ორჯერ აგდებისას საფასურის მოსვლის რაოდენობათა ალბათური განაწილება.

ამოხსნა. ვიცით, რომ $$ P(X=0)=0.25, \quad P(X=1)=0.5, \quad P(X=2)=0.25 $$ და ნებისმიერი სხვა \( k \) რიცხვისთვის, რომელიც ნაკლებია 0-ზე და მეტია 2-ზე, გვაქვს, რომ $$ P(X=k)=0 $$ამიტომ ალბათობის ფუნქცია იქნება: $$ f(x)=P(X=x)=0.25, \quad x=0;2 $$ $$ f(x)=0.5, \quad x=1 $$ $$ f(x)=0, \quad x<0; x>2 $$გრაფიკულად აღნიშნული ფუნქციის გამოსახვა შესაძლებელია, მაგალითად, სვეტოვანი დიაგრამით:

დიაგრამა 7.2.1. ალბათობის ფუნქციის გრაფიკული წარმოდგენა

შესაძლებელია აიგოს ცხრილიც, სადაც პირველი სვეტი ამ ფუნქციის განსაზღვრის არეა, ხოლო მეორე სვეტი კი – მნიშვნელობათა არე:

\( x \)\( f(x) \)
00.25
10.5
20.25
ცხრილი 7.2.1. ალბათური განაწილების ფუნქციის ცხრილური სახით წარმოდგენა

საზოგადოდ, ალბათობის ფუნქციას გააჩნია გარკვეული თვისებები, რომელთაც შემდეგ ქვეთავში ჩამოვთვლით.