თემის წინა თავში შემუშავებული ცნებების და ტერმინების გამოყენებით ჩვენ უკვე მზად ვართ ამა თუ იმ მოვლენის ალბათობის დასადგენად.

დავუშვათ, რომ ტარდება შემთხვევითი ექსპერიმენტი და ჩვენ გვაინტერესებს, რა არის ალბათობა იმისა,, რომ გარკვეულ ხდომილებას ექნება ადგილი. ალბათობა იზომება 0-დან 1-მდე ინტერვალზე. ნულის ტოლი ალბათობა გულისხმობს, რომ ხდომილებას არ ექნება ადგილი, ხოლო ერთის ტოლი ალბათობა გულისხმობს, რომ ხდომილება აუცილებლად განხორციელდება. პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრის დროს ამგვარი ექსტრემალური შემთხვევები საკმაოდ იშვიათია. ამგვარად, ჩვენი ამოცანაა, დავადგინოთ ალბათობა არაცხადი ხდომილებებისათვის 0-დან 1-მდე ინტერვალში. ამისათვის ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ნებისმიერი ინფორმაცია, რომელიც ჩვენს ხელთ არსებობს. მაგალითად, პრემიუმ კლასის მანქანების გაყიდვის მენეჯერი თვლის, რომ მომხმარებელთა მაღალი შემოსავლების პირობებში ასეთი მანქანების გაყიდვებს უფრო ხშირად ექნება ადგილი. სტუდენტმა შეიძლება ჩათვალოს, რომ რაც უფრო მეტ საკითხს ისწავლის გამოცდისათვის მომზადების პროცესში, მით უფრო მაღალია იმის ალბათობა, რომ იგი მიიღებს მაღალ ნიშანს.

ამ თავში ჩვენ განვიხილავთ ალბათობის 3 განსაზღვრებას:

• კლასიკური ალბათობა
• ფარდობითი სიხშირის ალბათობა
• სუბიექტური ალბათობა

თუ შემთხვევით ექსპერიმენტს აქვს ერთნაირად მოსალოდნელ (ტოლშესაძლო) შედეგთა (ელემენტარულ ხდომილებათა) სასრული ოდენობა, მაშინ ხდომილების ალბათობა ტოლია მისი ხელშემწყობი შედეგების თანაფარდობისა ყველა შესაძლო შედეგთან ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცეში.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ გავყოფთ $ S $ სივრცეში იმ შედეგების რაოდენობას, რომლებიც მიეკუთვნება $ A $ ხდომილებას, $ S $ სივრცის ყველა შესაძლო შედეგზე, ჩვენ მივიღებთ ხდომილების ალბათობას. ამგვარად, $ A $ ხდომილების ალბათობაა $$ P(A) = N_A/N $$

სადაც $ P(A) $ არის $ A $ ხდომილების ალბათობა, $ N_A $ – შედეგთა რაოდენობა, რომლებიც აკმაყოფილებენ $ A $ ხდომილების პირობას, ხოლო $ N $ არის $ S $ სივრცეში ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობა.

მაგალითად, კამათლის გაგორებისას ალბათობა იმისა, რომ მიღებული შედეგი იქნება არანაკლები $ 3 $-ზე, არის $ 4/6 $. მართლაც, ხდომილებას „შედეგი არანაკლებია $ 3 $-ზე“ აკმაყოფილებს $ 4 $ ელემენტარული ხდომილება – $ [3, 4, 5, 6] $ , ანუ $ N_A = 4 $ , ხოლო ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობა $ N = 6 $ (ელემენტარული ხდომილებებია $ [1, 2, 3, 4, 5, 6]) $ . შესაბამისად, $ N_A/N = 4/6 $ .

ხშირად ალბათობის გამოთვლისათვის საჭირო არის ხელშემწყობ შედეგთა სხვადასხვა კომბინაციის გამოთვლა. მაგალითის სახით დავუშვათ, რომ კინოფესტივალზე დღის განმავლობაში კინოკრიტიკოსს შეუძლია მხოლოდ $ 2 $ ფილმს დაესწროს, მაშინ როდესაც იმ დღეს $ 6 $ ფილმის $ (A,B,C,D,E და F) $ ჩვენება არის დაგეგმილი. თუ კრიტიკოსი შემთხვევითი წესით აარჩევს ორ ფილმს, რა არის იმის ალბათობა, რომ კრიტიკოსი დაესწრება, ვთქვათ, $ B $ და $ F $ ფილმებს? აღნიშნული ამოცანის ამოსახსნელად გამოსათვლელია, ერთი მხრივ, ხელშემწყობ შედეგთა რაოდენობა $ N_A $ და, მეორე მხრივ, ყველა შესაძლო შედეგის რაოდენობა $ N $ , ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცეში (ანუ ყველა წყვილი 6 ფილმიდან). დავიწყოთ ამ უკანასკნელიდან. ყველა შესაძლო $ 2 $ -ფილმიანი კომბინაციის ჩამოთვლა გვიჩვენებს, რომ წყვილების რაოდენობა $ 15 $ -ს უდრის: $$ (A B), (A C), (A D), (A E), (A F), (B C), (B D), (B E), (B F), (C D), (C E), (C F), (D E), (D F), (E F) $$.

ასევე ცხადია, რომ $ N_A = 1 $ , რადგან $ B $ და $ F $ ფილმების ერთადერთი წყვილი არსებობს. შესაბამისად, ალბათობა იმისა, რომ კინოკრიტიკოსი დაესწრება $ B და F $ ფილმებს, უდრის $ 1/15 $ -ს.

ზოგადად, $ n $ ელემენტიდან $ k $ -ელემენტიანი კომბინაციების დათვლა ჯუფთების ფორმულის მეშვეობით ხდება: $$ C_k^n= \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ ჩვენს მაგალითში კი გვექნება, რომ $$ C_2^6= \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15 $$. ანუ მივიღეთ ის რიცხვი, რაც ზემოთ გამოვთვალეთ კომბინაციების ჩამოთვლისას.

ჩვენ ხშირად ვიყენებთ ფარდობით სიხშირეს კონკრეტული პოპულაციისთვის ალბათობების შესაფასებლად. ფარდობითი სიხშირის ალბათობა არის პოპულაციაში იმ ხდომილებათა რაოდენობა, რომლებიც აკმაყოფილებს გარკვეულ პირობას, შეფარდებული პოპულაციის მთლიან რაოდენობასთან. ფარდობითი სიხშირის ალბათობა გვიჩვენებს, რამდენად ხშირად აქვს ადგილი ამა თუ იმ ხდომილებას სხვა ხდომილებებთან შედარებით.

ფარდობითი სიხშირის ალბათობა წარმოადგენს დიდი ( $ n $) ზომის შემთხვევით ექსპერიმენტებში $ A $ ხდომილების განხორციელების ფარდობით ზღვარს: $$ P(A) = \frac{n_A}{n} $$ სადაც $ n_A $ არის $ A $ -ს ხელშემწყობი შედეგების რაოდენობა, ხოლო $ n $ – ცდების, ან შედეგების, მთლიანი რაოდენობა. ალბათობა არის ზღვარი, როდესაც $ n $ დიდი ხდება (ან უსასრულობას უახლოვდება).

მაგალითი. მონეტის აგდებისას უსასრულო რაოდენობის ცდებში, გერბის ალბათობა ზღვრულად უდრის $ 1/2 $ -ს, რადგან $ 2 $ -დან (გერბი, საფასური) $ 1 $ (გერბი) შედეგი აკმაყოფილებს შესაბამის პირობას.

მაგალითი. ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეზე ($ N = 1,2,3,…. $) კენტი რიცხვის შერჩევის ალბათობა $ 1/2 $ -ის ტოლია, რადგან ზღვრულად (ანუ $ n $-ის ზრდასთან ერთად) $ n $ შესაძლო შედეგში აუცილებლად $ n/2 $ კენტი რიცხვია (მაგ., $ 1 $ მილიარდ ნატურალურ რიცხვში $ 500 $ მილიონი კენტი ნატურალური რიცხვია და ა.შ.).

სუბიექტური ალბათობა გამოხატავს გარვეული რწმენის ხარისხს, რომ ესა თუ ის ხდომილება განხორციელდება. ამგვარი სუბიექტური ალბათობები გამოიყენება ზოგიერთი ტიპის მენეჯერული გადაწყვეტილების მიღების პროცესში.

სუბიექტური ალბათობის ცნების უკეთესი გაგებისათვის ჩვენ შეგვიძლია ე.წ. სამართლიანი ფსონის (fair bet) ცნება გამოვიყენოთ. მაგალითად, თუ მე ვამტკიცებ, რომ შემდეგ კვირას აქციის გაზრდის ალბათობა $ 0.5 $, მაშინ მე მჯერა, რომ აქციის ფასი იმავე ალბათობით შეიძლება გაიზარდოს, როგორითაც შემცირდეს, შესაბამისად, ალბათობის ჩემი სუბიექტური შეფასება გულისხმობს, რომ მე განვიხილავ ისეთ ფსონს სამართლიანად, რომელშიც მე გადავიხდი $ 1 $ ლარს, თუ აქციის ფასი დაიწევს და მივიღებ $ 1 $ ლარს, თუ აქციის ფასი გაიზრდება. ანალოგიურად, თუ მე ვფიქრობ, რომ კონკრეტულ რბოლაში ცხენის გამარჯვების ალბათობა არის $ 0.4 $, მაშინ არსებობს $ 40-60 $-თან მოგების შესაძლებლობა და ჩემთვის სამართლიანი ფსონია ისეთი, რომლის დროსაც მე მოვიგებ $ 3 $ ლარს, თუ ცხენი გაიმარჯვებს რბოლაში და წავაგებ $ 2 $ ლარს, თუ ცხენი წააგებს.