მიუხედავად იმისა, რომ ალბათობის ცნებებს XVII საუკუნეშიც აქტიურად გამოიყენებდნენ, ალბათობის თეორიის ფორმალური (კერძოდ, აქსიომატური) დაფუძნება მოხდა მე-20 საუკუნეში. ქვემოთ მოყვანილია ალბათობის თეორიის 3 პოსტულატი, რომლებზეც აგებულია ალბათობის თეორია. ამ პოსტულატებს აგრეთვე კოლმოგოროვის აქსიომებს უწოდებენ.
ვთქვათ, $ S $ არის შემთხვევითი ექსპერიმენტის ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცე, $ O_i $ არის ელემენტარული ხდომილებები და $ A $ არის ხდომილება. ყოველი $ A $ ხდომილებისთვის $ S $ სივრცეში ჩვენ დავუშვებთ, რომ $ P(A) $ განსაზღვრულია და გვაქვს შემდეგი ალბათობის სამი პოსტულატი:
- ყოველი $ A $ ხდომილებისთვის $ S $ სივრცეში, $ 0≤P(A)≤1 $
- ვთქვათ, $ A $ არის ხდომილება $ S $ სივრცეში, ხოლო $ O_i $ აღნიშნავს ელემენტარულ ხდომილებებს. მაშინ $ P(A)= \sum_i{P(O_i)} $ სადაც აღნიშვნები გულისხმობს, რომ შეჯამება ხდება $ A $ ხდომილების ხელშემწყობ ყველა ელემენტარულ ხდომილებაზე.
- ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცის ალბათობა $ 1 $ -ის ტოლია: $ P(S) = 1. $
პირველი და მესამე პოსტულატები ინტუიტიურია. პირველი პოსტულატის მიხედვით, ალბათობა $ 0-დან 1 $-მდე მნიშვნელობებს იღებს. მესამე პოსტულატი კი გულისხმობს, რომ რადგან შემთხვევითი ექსპერიმენტი აუცილებლად რაიმე შედეგით სრულდება, ალბათობა იმისა, რომ ეს შედეგი იქნება ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცეში $ 1 $-ს უდრის.
მეორე პოსტულატის გასაგებად, უნდა გავიხსენოთ, რომ ელემენტარული ხდომილებები არის ურთიერთგამომრიცხავი (მაგ., შეუძლებელია ორი სხვადასხვა რიცხვის მიღება კამათლის ერთი გაგორების შედეგად). შესაბამისად, იმ ელემენტარული ხდომილების ალბათობების ჯამი, რომლებიც შეესაბამება $ A $ ხდომილებას, სწორედ $ A $ ხდომილების ალბათობას უდრის.
ალბათობის პოსტულატების მნიშვნელოვანი შედეგები:
- თუ ელემენტარულ ხდომილებათა $ S $ სივრცე შედგება $ n $ ტოლშესაძლო ელემენტარული ხდომილებისაგან, $ E_1,E_2,…,E_k $, მაშინ $$ P(E_i)= \frac{1}{n}, i = 1,2,…,n $$
- თუ ელემენტარულ ხდომილებათა $ S $ სივრცე შედგება $ n $ ტოლშესაძლო ელემენტარული ხდომილებისაგან და $ A $ ხდომილება შედგება $ n_A $ რაოდენობის ხდომილებებისაგან, მაშინ $$ P(A)=\frac{n_A}{n} $$
- ვთქვათ, $ A $ და $ B $ არის ურთიერთგამომრიცხავი ხდომილებები. მაშინ მათი გაერთიანების ალბათობა მათი ინდივიდუალური ალბათობების ჯამის ტოლია, ანუ
$$ P(A∪B)=P(A)+ P(B) $$ საზოგადოდ, თუ $ E_1,E_2,…,E_k $ ურთიერთგამომრიცხავი ხდომილებებია, $$ P(E_1 \cup E_2 \cup … \cup E_k)=P(E_1)+ P(E_2)+ …+P(E_k) $$ აღნიშნული შედეგი მე-2 პოსტულატიდან გამომდინარეობს.