8.3. ჰიპერგეომეტრიული შემთხვევითი ცვლადი და მისი ალბათური განაწილება

წინა ქვეთავში განვიხილეთ მაგალითი ურნასა და ბურთებზე, სადაც საქმე გვქონდა ბინომიალურ ექსპერიმენტთან. ახლა კი წარმოვიდგინოთ, რომ ურნიდან ამოღებულ ბურთს უკან არ ვაბრუნებთ. მაშინ ცხადია, რომ თეთრი ბურთის ამოღების ალბათობა ყოველ ჯერზე განსხვავებული გახდება და თან დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ წინა ჯერზე რომელი ფერის ბურთი ამოვიღეთ. ასეთ შემთხვევაში წარმატებათა რაოდენობა (ანუ ამოღებულ თეთრ ბურთთა რაოდენობა) შესაძლებელია აღიწეროს ჰიპერგეომეტრიული შემთხვევითი ცვლადით და მისი ალბათური განაწილების წესით. ეს წესი გულისხმობს, რომ სახეზეა

  • პოპულაცია (ყველა ბურთი ურნაში, \( N \))
  • შერჩევა (ურნიდან ამოღებული ბურთები, \( n \))
  • წარმატების შესაბამისი შედეგები პოპულაციაში (თეთრი ბურთები ურნაში, \( K \))
  • წარმატების შესაბამისი შედეგები შერჩევაში (ურნიდან ამოღებული თეთრი ბურთები, \( k \)).

ჩვენს მაგალითში \( N=10 \), \( n=5 \), \( K=3 \) და \( k=2 \).

განსაზღვრება 8.3.1. ჰიპერგეომეტრიული შემთხვევითი ცვლადის (\( X \)) ალბათური განაწილების ფორმულა მოიცემა შემდეგი სახით:
$$ P(X=k)=\frac{C_k^K*C_{n-k}^{N-K}}{C_n^N} $$ სადაც \( k \) შერჩევაში მიღწეულ წარმატებათა რაოდენობაა, \( N \) – პოპულაციაში ცდათა სრული რაოდენობა, \( n \) – შერჩევაში ცდათა რაოდენობა, ხოლო \( K \) – პოპულაციაში წარმატებათა სრული რაოდენობა.

მაგალითი. მოწმდება 6 ცალი კომპიუტერი 20-დან. წინასწარ ცნობილია, რომ ამ 20-დან 11 კომპიუტერი დაზიანებულია. თუკი შემთხვევით შეირჩევა 6 კომპიუტერი, რას უდრის ალბათობა იმისა, რომ 2 მათგანი დაზიანებული აღმოჩნდება?

ამოხსნა. $$ N=20, \quad n=6, $$ $$ K=11, \quad k=2 $$ $$ P(X=k)=P(X=6)=\frac{C_2^{11}*C_{6-2}^{20-11}}{C_6^{20}}=0.17879257 \approx 17.9\% $$

მაგალითი. რესტორნის მენეჯერს სურს წვეულებისთვის დაიქირაოს 5 დამატებითი ოფიციანტი. 15 კანდიდატიდან 8 მათგანი სტუდენტია. თუკი მოხდება შემთხვევითი შერჩევა, რა არის ალბათობა იმისა, რომ შერჩეულებში სულ მცირე 3 სტუდენტი მაინც აღმოჩნდება?

ამოხსნა. ცხადია, რომ \( N=15 \), \( n=5 \), \( K=8 \) და \( k=3 \). მაშინ გვექნება, რომ: $$ P(X \geq 3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= $$ $$ \frac{C_3^{8}*C_{5-3}^{15-8}}{C_5^{15}} + \frac{C_4^{8}*C_{5-4}^{15-8}}{C_5^{15}} + \frac{C_5^{8}*C_{5-5}^{15-8}}{C_5^{15}}=0.573426573 \approx 57.3\% $$

ამოცანა. ქართულ კომპანიას, თბილისის გარდა, სურს ფილიალები გახსნას რეგიონებშიც. კერძოდ, დასავლეთ საქართველოდან განიხილება ხუთი ქალაქი: ბათუმი, ფოთი, ზუგდიდი, ქუთაისი და ზესტაფონი, ხოლო აღმოსავლეთ საქართველოდან კი – სამი: ხაშური, გორი და რუსთავი. თუკი კომპანიის მენეჯერი ამ ქალაქებიდან შემთხვევითი პრინციპით შეარჩევს 4 მათგანს, რა არის ალბათობა, რომ ამ ოთხეულში ქალაქები თანაბრად გადანაწილდება საქართველოს ორივე მხარიდან?

ამოხსნა. ზოგადობის შეუზღუდავად, “წარმატებად” შეგვიძლია განვიხილოთ დასავლეთ საქართველოდან ქალაქის შერჩევა. მაშინ $$ N=8, \quad n=4, $$ $$ K=5, \quad k=2 $$ $$ P(X=k)=P(X=2)=\frac{C_2^{5}*C_{4-2}^{8-5}}{C_4^{8}}=0.4285714286 \approx 42.9\% $$