7.9. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის საშუალო და დისპერსია

დავუშვათ, მოცემულია ორი შემთხვევითი ცვლადი \( X \) და \( Y \). მაშინ სამართლიანია შემდეგი ტოლობები: $$ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \tag{1}$$ $$ E(aX+bY)= aE(X)+bE(Y) \tag{2} $$ $$ Var(aX+bY)= a^2 Var(X)+b^2 Var(Y)+2ab*Cov(X,Y) \tag{3} $$ სადაც \( Var \) აღნიშნავს დისპერსიას, ხოლო \( Cov \) კი კოვარიაციას.

განვიხილოთ მაგალითი. საკონდიტრო დღის განმავლობაში იღებს სხვადასხვა რაოდენობის შეკვეთებს დიდ ტორტებზე და შედარებით მცირე ნამცხვრებზე. მენეჯერი ამბობს, რომ დღის განმავლობაში ტორტზე სულ მცირე 1 შეკვეთა მაინც ფიქსირდება, თუმცა შესაძლებელია მიღებულ იქნას ერთდროულად 2 შეკვეთაც, ხოლო მაქსიმალური რაოდენობა, რაც კი შეიძლება დაფიქსირდეს, 3-ის ტოლია. ამასთან, მისი პირადი გამოთვლებით: $$ P(X=1)=0.5, \quad P(X=2)=0.3, \quad P(X=3)=0.2 $$ სადაც \( X \)-ით აღნიშნულია შეკვეთების რაოდენობა დღეში. რაც შეეხება ნამცხვრებს, მენეჯერის თქმით, დღის განმავლობაში ფიქსირდება სულ მცირე 10 ნამცხვარზე შეკვეთები, თუმცა შესაძლოა მიღებულ იქნას მაქსიმუმ 15 შეკვეთა, შემდეგი ალბათობებით: $$ P(Y=10)=0.25, \quad P(Y=11)=0.3, \quad P(Y=12)=0.28, $$ $$ P(Y=13)=0.12, \quad P(Y=14)=0.1, \quad P(Y=15)=0.05 $$ სადაც \( Y \)-ით აღნიშნულია შეკვეთების რაოდენობა დღეში.

საშუალოდ რამდენი ტორტი და ნამცხვარი იყიდება საკონდიტროში? პასუხი მარტივია: გაყიდული ტორტების საშუალო რაოდენობას დამატებული გაყიდული ნამცხვრების საშუალო რაოდენობა (ანუ ზემოთ, დასაწყისში მოყვანილი (1) ტოლობა): $$ E(X+Y)=E(X)+E(Y)= $$ $$ =(1*0.5+2*0.3+3*0.2)+$$ $$+(10*0.25+11*0.3+12*0.28+13*0.12+14*0.1+15*0.05)= $$ $$ =1.7+12.87=14.57 $$ ახლა დავუშვათ, რომ დიდი ტორტის სარეალიზაციო ფასია 50 ლარი, ხოლო ნამცხვრის სარეალიზაციო ფასი კი – 11 ლარი. რას უდრის საკონდიტროს დღიური შემოსავალი? ბუნებრივია, რომ ის დამოკიდებულია ტორტების და ნამცხვრების რეალიზებულ რაოდენობებზე შემდეგნაირად: $$ Z=50*X+11*Y $$ სადაც \( Z \)-ით აღვნიშნეთ დღიური შემოსავალი. და რას უდრის საშუალო დღიური შემოსავალი? პასუხი აქაც მარტივია: ფასები უნდა გადამრავლდეს საშუალო გაყიდულ რაოდენობებზე და დაჯამდეს (ანუ ზემოთ, დასაწყისში მოყვანილი (2) ტოლობა): $$ E(50*X+11*Y)= 50*E(X)+11*E(Y)= $$ $$ =50*1.7+11*12.87=226.57 $$

როგორც ვხედავთ, საშუალო დღიური შემოსავალი 226 ლარი და 57 თეთრია, თუმცა დღის განმავლობაში შემოსავალი შესაძლოა მასზე მეტი იყოს, ან ნაკლები (რაც ცხადია დამოკიდებულია გაყიდვებზე) და როგორც ვიცით, ამ ცვალებადობის შეფასება შესაძლებელია დისპერსიით (და სტანდარტული გადახრით). ზემოთ, დასაწყისში მოყვანილი (3) ტოლობა დისპერსიის გამოთვლის წესს ასახავს და როგორც ვხედავთ, ორი ცვლადის წრფივი კომბინაციის, \( (aX+bY) \)-ის, დისპერსია არამარტო ამ ცვლადების დისპერსიებზეა დამოკიდებული, არამედ მათ შორის კოვარიაციაზეც. რატომ? იმიტომ, რომ თუკი ცვლადები ერთმანეთზე დამოკიდებულია (ანუ მათ შორის გარკვეული კავშირია), ისინი ერთმანეთის ცვალებადობაზეც ახდენენ ზეგავლენას და ამდენად, ამ კავშირის, კოვარიაციის, გათვალისწინება აუცილებელია ამ ცვლადების ჯამური დისპერსიის გამოთვლისას. დავუშვათ, რომ მენეჯერის გამოთვლებით ტორტებისა და ნამცხვრების გაყიდვებს შორის კოვარიაცია უდრის 1.2-ს, მაშინ გვექნება, რომ $$ Cov(X,Y)=1.2 $$ $$ Var(X)=(1-1.7)^2*0.5 + (2-1.7)^2*0.3 + (3-1.7)^2*0.2 = 0.61 $$ $$ Var(Y)=(10-12.87)^2*0.25+(11-12.87)^2*0.3+(12-12.87)^2*0.28+ $$ $$ +(13-12.87)^2*0.12+(14-12.87)^2*0.1+(15-12.87)^2*0.05)=3.67679 $$ $$ Var(Z)=Var(50*X+11*Y)=50^2*0.61 + 11^2*3.67679 + 2*50*11*1.2=3,289.89159 $$

დღიური შემოსავლის სტანდარტული გადახრა იქნება: $$ \sigma(Z)=\sqrt{Var(Z)}=\sqrt{3,289.89159}=57.35757657 \approx 57.36 $$ ანუ საბოლოოდ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ საკონდიტროს საშუალო დღიური შემოსავალია 226 ლარი და 57 თეთრი, “პლიუს-მინუს” 57 ლარი და 36 თეთრი.

სხვათა შორის, ცვლადებს შორის განიმარტება კორელაციაც: $$ Corr(X,Y)=\frac{Cov(X,Y)}{\sigma(X)*\sigma(Y)} $$ ჩვენს მაგალითში: $$ Corr(X,Y)=\frac{1.2}{\sqrt{0.61}*\sqrt{3.67679}}=0.801275596 \approx 0.8 $$