დავუშვათ, წინა ქვეთავში განხილულ მაგალითში პროექტის მენეჯერს სურს შეაფასოს მოსალოდნელი ხარჯი. მან უწყის, რომ პროექტის შესასრულებლად შესყიდულ უნდა იქნას 25,000 ლარის ღირებულების მასალა და ამასთან, ყოველ დღეს ხელფასის სახით თანამშრომლებზე უნდა გაიცეს 900 ლარი. მაშასადამე, თუ პროექტი დასრულდება \( x \) დღეში, მაშინ ბუნებრივია სრული ხარჯი იქნება \( C = 25,000 + 900x \) ლარი. შევნიშნოთ, რომ \( C \)-ც შემთხვევითი ცვლადია, რადგან იგი დამოკიდებულია პროექტის დასრულებისთვის საჭირო დღეების რაოდენობაზე (რაც, რა თქმა უნდა, შემთხვევითი სიდიდეა). ანუ ფაქტიურად მენეჯერს აინტერესებს \( C \) შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური ლოდინი, რათა წინასწარ დაადგინოს სავარაუდო ხარჯი. საბედნიეროდ, მისი გამოთვლა ადვილია, თუ \( X \)-ის მათემატიკური ლოდინი ცნობილია: $$ E(C)= E(25,000+900X)= 25,000+900E(X)= 25,000+900*11.9=35,710 $$ სადაც ჩვენ გამოვიყენეთ მათემატიკური ლოდინის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება, რომელიც ზოგადი სახით შემდეგნაირად ყალიბდება: ვთქვათ, \( X \) წარმოადგენს შემთხვევით ცვლადს \( E(X) \) საშუალოთი და \( Var(X) \) დისპერსიით და დავუშვათ \( a \) და \( b \) რაიმე მუდმივებია. განვსაზღვროთ შემთხვევითი ცვლადი \( Y \) შემდეგნაირად: $$ Y = a + bX $$ ე.ი. \( Y \) იყოს \( X \)-ის წრფივი ფუნქცია. \( Y \)-ის მათემატიკური ლოდინი, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა იქნება: $$ E(Y)=E(a + bX)=a+bE(X)=a+bE(X) $$ $$ Var(Y)=b^2 Var(X) $$ $$ \sigma(Y)=\sqrt{Var(Y)}=\sqrt{b^2 Var(X)}=|b|\sigma(X) $$ შევნიშნოთ, რომ სტანდარტული გადახრის ფორმულაში გამოვიყენეთ \( b \)-ის მოდული, რათა უზრუნველვყოთ ის, რომ \( \sigma(Y) \) უარყოფითი არ გახდეს (როგორც ვიცით, სტანდარტული გადახრა არაუარყოფითი სიდიდეა, რადგან ის აღნიშნავს საშუალო დაშორებას, მანძილს, საშუალო მნიშვნელობიდან).

ზემოთ განხილულ მაგალითში დისპერსია იქნება: $$ Var(C)=900^2*1.29=1,044,900 $$ ხოლო სტანდარტული გადახრა კი: $$ \sigma(C)=900*1.14=1,026 $$

მაგალითი. დავუშვათ, ინვესტორი 1,000 ლარიანი ინვესტიციის განსახორციელებლად აკეთებს არჩევანს შემდეგ სამ სტრატეგიას შორის:

სტრატეგია 1. ამ სტრატეგიით ინვესტორი მიიღებს 10,000 ლარის ოდენობის მოგებას 15%-იანი ალბათობით და 1,000 ლარის ზარალს 85%-იანი ალბათობით.

სტრატეგია 2. ამ სტრატეგიით ინვესტორი მიიღებს 1,000 ლარიან მოგებას 50%-იანი ალბათობით, 500 ლარიან მოგებას 30%-იანი ალბათობით და 500 ლარის ზარალს 20%-იანი ალბათობით.

სტრატეგია 3. ინვესტორი გარანტირებულად მიიღებს 400 ლარის მოგებას.

რომელ სტრატეგიას გააჩნია ყველაზე მაღალი მოსალოდნელი მოგება? ურჩევდით ინვესტორს ამ სტრატეგიის უპირობოდ არჩევას?

ამოხსნა. ჯერ დავადგინოთ ალბათობის ფუნქციები თითოეული სტრატეგიისთვის. პირველი სტრატეგიის განხორციელების შედეგის შესაბამისი შემთხვევითი ცვლადი აღვნიშნოთ \( X \)-ით. გვაქვს, რომ $$ P(X=10,000)=0.15, \quad P(X=-1,000)=0.85 $$ შევნიშნოთ, რომ ზარალი უარყოფითი ნიშნით განვსაზღვრეთ. მეორე სტრატეგიისთვის ალბათური განაწილების ფუნქცია შემდეგნაირად ჩამოყალიბდება: $$
P(Y=1,000)=0.50, \quad P(Y=500)=0.30, \quad P(Y=-500)=0.20 $$ მესამე სტრატეგიისთვის კი გვექნება, რომ $$ P(Z=400)=1 $$ შესაბამისად, მათემატიკური ლოდინები თითოეული სტრატეგიისთვის (ანუ მოსალოდნელი ფინანსური შედეგები თითოეულის განხორციელების შედეგად) იქნება: $$ E(X)=10,000*0.15+(-1,000)*0.85=650 $$ $$ E(Y)=1,000*0.50+500*0.30+(-500)*0.20=550 $$ $$ E(Z)=400*1=400 $$ როგორც ვხედავთ, ყველაზე მაღალი მოსალოდნელი მოგება გააჩნია პირველ სტრატეგიას, მაგრამ სანამ მასზე შევაჩერებდეთ არჩევანს, აუცილებელია გამოთვლილ იქნეს მისი გაფანტულობის საზომი, დისპერსია. ცხადია, რომ მეტი დისპერსიის (ან სტანდარტული გადახრის) მქონე სტრატეგია მეტად რისკიანად შეიძლება ჩაითვალოს: $$ Var(X)=(10,000-650)^2*0.15+(-1,000-650)^2*0.85=15,427,500 $$ $$ \sigma(X)=\sqrt{15,427,500}=3,927.79 $$ $$ Var(Y)=(1,000-550)^2*0.50+(500-550)^2*0.30+(-500-550)^2*0.20=322,500 $$ $$ \sigma(Y)=\sqrt{322,500}=567.9 $$ $$ Var(Z)=(400-400)^2*1=\sigma(Z)=0 $$ თუ შევადარებთ პირველსა და მეორე სტრატეგიას, მიუხედავად იმისა, რომ პირველი მათგანი საშუალოდ მეტი მოგების მომტანია, მისი გაფანტულობა და შესაბამისად, რისკიანობა ბევრად მეტია. ამის გამო ცალსახად მისი უპირატესობა მეორე სტრატეგიასთან შედარებით საეჭვოა. რაც შეეხება მესამე სტრატეგიას, იგი ურისკოა (სტ.გადახრა 0-სი ტოლია), თუმცა მისი საშუალო მოგება ჩამოუვარდება სხვა სტრატეგიების საშუალო მოგებებს.