დავუშვათ, \( X \) წარმოადგენს რაიმე შემთხვევით დისკრეტულ ცვლადს კუმულატიური ალბათობის ფუნქციით \( F(x) \) და ალბათობის ფუნქციით \( f(x) \). მაშინ ადვილი საჩვენებელია, რომ რაიმე \( x_0 \) წერტილში $$ F(x_0 )=\sum_{x≤x_0} {f(x)} $$ მაგალითად, მონეტის ორჯერ აგდების ექსპერიმენტში კუმულატიური ალბათობის ფუნქციის მნიშვნელობა \( x_0=1 \)-თვის იქნება: $$ F(x_0)=F(1)=\sum_{x≤1} {f(x)}=f(0)+f(1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.25+0.5=0.75 $$ აღნიშნული კავშირის გათვალისწინებით, ალბათობის ფუნქციისთვის ადრე განხილული ცხრილური წარმოდგენა შეგვიძლია განვავრცოთ კუმულატიური ალბათობის ფუნქციაზე და ერთად ჩამოვაყალიბოთ შემდეგნაირად:
| \( x \) | \( f(x) \) | \( F(x) \) |
|---|---|---|
| 0 | 0.25 | 0.25 |
| 1 | 0.5 | 0.75 |
| 2 | 0.25 | 1 |
კუმულატიური ალბათობის ფუნქციისთვის სამართლიანია შემდეგი ორი თვისება:
1. \( 0≤F(x)≤1 \)
2. თუ \( x_0 \) და \( x_1 \) ორი ისეთი რიცხვია, რომ \( x_0<x_1 \), მაშინ \( F(x_0)≤F(x_1) \)
მაგალითი. დავუშვათ, მაღაზიის მეპატრონემ იცის, რომ ერთი დღის განმავლობაში შესაძლებელია გაიყიდოს 0-დან 5-მდე ველოსიპედი. ამასთან, მან წარსულ ინფორმაციაზე დაყრდნობით ასევე დაადგინა ალბათობისა და კუმულატიური ალბათობის ფუნქციების მნიშვნელობები ცხრილის სახით:
| \( x \) | \( f(x) \) | \( F(x) \) |
|---|---|---|
| 0 | 0.15 | 0.15 |
| 1 | 0.30 | 0.45 |
| 2 | 0.20 | 0.65 |
| 3 | 0.20 | 0.85 |
| 4 | 0.10 | 0.95 |
| 5 | 0.05 | 1 |
ა) რა არის იმის ალბათობა, რომ დღის განმავლობაში გაიყიდება 4 ველოსიპედი?
ბ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ დღის განმავლობაში გაიყიდება 3 ან ნაკლები ველოსიპედი?
გ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ დღის განმავლობაში გაიყიდება 2-ზე ნაკლები ველოსიპედი?
დ) რა არის ალბათობა იმისა, რომ დღის განმავლობაში გაიყიდება 3-ზე მეტი ველოსიპედი?
ამოხსნა. თავდაპირველად, გავაანალიზოთ ცხრილი და შევნიშნოთ, რომ ბოლო სვეტი წარმოადგენს მეორე სვეტის კუმულატიურ (დაგროვებით) ჯამს. მართლაც, $$ 0.45 = 0.15 + 0.30 $$ $$ 0.65 = 0.15 + 0.30 + 0.20 $$ და ა.შ.
ა) 4 ველოსიპედის გაყიდვის ალბათობა მეორე სვეტშია მოცემული: \( P(X=4)=0.10 \).
ბ) 3 ან ნაკლები ველოსიპედის გაყიდვის ალბათობა ბოლო სვეტშია მოცემული: \( F(3)=0.85 \). თუმცა, განმარტების თანახმად ანალოგიურად შეგვეძლო დაგვეწერა: $$ F(3)=P(X≤3)=P(X = 0)+P(X = 1)+ P(X=2)+P(X = 3)=0.15+0.30+0.20+0.20=0.85 $$
გ) 2-ზე ნაკლები ველოსიპედის გაყიდვა ნიშნავს 1 ან ნაკლები ველოსიპედის გაყიდვას, ამიტომ: $$ F(1)=0.45=P(X≤1)=P(X = 0)+P(X = 1)=0.15+0.30 $$
დ) 3-ზე მეტი ველოსიპედის გაყიდვა ნიშნავს 4 ან მეტი ველოსიპედის გაყიდვას, ამიტომ: $$ P(X>3)=P(X≥4)=P(X = 4)+P(X = 5)=0.10+0.05=0.15 $$ თუმცა, ალბათობის ფუნქციის მეორე თვისების თანახმად ასევე შეგვეძლო დაგვეწერა: $$ P(X>3)=1-P(X≤3)=1-F(3)=1-0.85=0.15 $$