განვიხილოთ რაიმე სამი ურთიერთგამომრიცხავი და ერთობლივად ამომწურავი ხდომილება: \( B_1, B_2 \) და \( B_3 \). გავიხსენოთ, რომ “ურთიერთგამომრიცხავი” ნიშნავს იმას, რომ ამ ხდომილებებს არ გააჩნია თანაკვეთა ერთმანეთთან, ხოლო “ერთობლივად ამომწურავი” კი ნიშნავს იმას, რომ მათი გაერთიანებით მიიღება სრული სივრცე \( S \). შესაბამისად, ვენის დიაგრამების გამოყენებით, მათი გრაფიკული გამოსახვა შესაძლებელია შემდეგნაირად:
გრაფიკი 6.1.1. სამი ურთიერთგამომრიცხავი და ერთობლივად ამომწურავი ხდომილება
ახლა განვიხილოთ კიდევ ერთი \( A \) ხდომილება, რომელსაც გააჩნია თანაკვეთები თითოეულ ამ ხდომილებასთან. სიმარტივისთვის ეს ხდომილება გამოვსახოთ ელიფსის ფორმის ვენის დიაგრამით, ხოლო თანაკვეთის სეგმენტები კი დავშტრიხოთ:
გრაფიკი 6.1.2. ხდომილების თანაკვეთა ურთიერთგამომრიცხავ და ერთობლივად ამომწურავ ხდომილებებთან
ცხადია, რომ \( A \) ელიფსის ფართობი უდრის დაშტრიხულ სეგმენტთა ფართობების ჯამს, ანუ, ალბათურად ეს ნიშნავს : $$ P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + P(A \cap B_3) $$
ეს წარმოადგენს \( A \) ხდომილების სრული ალბათობის ფორმულას, რადგან ის იძლევა ამ ხდომილების მთლიან “წილს” ელემენტარულ ხდომილებათა სივრცე \( S \)-ში. არსებობს მეორე ფორმულაც, რომელიც უშუალოდ ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს და მეტი პრაქტიკული გამოყენება აქვს, მაგრამ მას ქვემოთ განვიხილავთ. მანამდე კი მოვიყვანოთ პრაქტიკული მაგალითი.
დავუშვათ, საწარმო, სამი დამოუკიდებელი, \( B_1, B_2 \) და \( B_3 \) დანადგარის მეშვეობით, დღის განმავლობაში უშვებს $ 100 $ ცალ ერთგვაროვან დეტალს. აქედან $ 40 $ დეტალს უშვებს პირველი დანადგარი, $ 50 $ დეტალს მეორე დანადგარი, ხოლო დანარჩენს კი – მესამე დანადგარი. დღის ბოლოს ხარისხის კონტროლის მენეჯერი შემთხვევითი პრინციპით არჩევს ერთ დეტალს და ამოწმებს მის ვარგისიანობას. ცხადია, მან იცის, რომ ალბათობა იმისა, რომ ამორჩეული დეტალი პირველ დანადგარს ეკუთვნის, არის $$ P(B_1) = 40/100 = 40\%. $$ ანალოგიურად, $$ P(B_2) = 50/100 = 50\% $$ $$ P(B_3) = 10/100 = 10\%. $$ ამასთან, დავუშვათ, რომ წარსული გამოცდილებაზე დაყრდნობით, მენეჯერმა ასევე იცის, რომ, გამოშვებულ $ 100 $ დეტალში, საშუალოდ,
- $ 4 $ ხარვეზიანი დეტალი გამოერევა ხოლმე და თან ისეთი, რომ ისინი \( B_1 \) დანადგარითაა დამზადებული;
- $ 5 $ ხარვეზიანიც გამოერევა ხოლმე იმავდროულად და თან ისეთი, რომ ისინი \( B_2 \) დანადგარითაა დამზადებული;
- და ბოლოს, $ 3 $ ხარვეზიანიც აღმოჩნდება ხოლმე და თან ისეთი, რომ ისინი \( B_3 \) დანადგარითაა დამზადებული.
თუკი ხარვეზიანი დეტალის აღმოჩენის ხდომილებას \( A \) სიმბოლოთი ავღნიშნავთ, ცხადია, ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევით შერჩეული დეტალი აღმოჩნდება ხარვეზიანი, უდრის: $$ P(A) = (4 + 5 + 3)/100 = 12/100 = 12\%. $$ მაგრამ რამდენადაც $$ P(A \cap B_1) = 4/100 = 4\% $$ $$ P(A \cap B_2) = 5\% $$ $$ P(A \cap B_3) = 3\%, $$ ადვილი დასანახი ხდება, რომ $ 12\% $ სწორედ ამ რიცხვების ჯამია: $$ 12\% = 4\% + 5\% + 3\% = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2) + P(A \cap B_3), $$ რაც იგივე ზემოთხსენებული სრული ალბათობის ფორმულაა. $ 12\% $, იმავდროულად, წარმოადგენს დეტალების მთლიან ერთობლიობაში ხარვეზიან დეტალთა წილს.
საზოგადოდ, პრაქტიკაში, სრული ალბათობის დასათვლელად საჭირო ინფორმაცია არა თანაკვეთების, არამედ პირობითი ალბათობების სახითაა მოცემული. სხვაგვარად რომ ვთქვათ, ხარისხის კონტროლის მენეჯერმა იცის თითოეული დანადგარი რა ალბათობით ამზადებს ხარვეზიანს დეტალს, ანუ იცის $ P(A | B_1), P(A | B_2) $ და $ P(A | B_3) $-ის მნიშვნელობები. შევნიშნოთ, რომ პირობითი ალბათობის ფორმულაზე დაყრდნობით, თანაკვეთის ალბათობა უდრის პირობითი და უპირობო ალბათობების ნამრავლს: $$ P(A | B_1) = \frac{P(A \cap B_1)}{P(B_1)} \,\,\, \rightarrow \,\,\, P(A \cap B_1) = P(A | B_1) P(B_1) $$
ანალოგიურად, გვაქვს, რომ $$ P(A \cap B_2) = P(A | B_2) P(B_2) $$ და $$ P(A \cap B_3) = P(A | B_3) P(B_3) $$
გადავწეროთ ზემოხსენებული სრული ალბათობის ფორმულა ისე, რომ მასში თანაკვეთები ჩავანაცვლოთ ნამრავლებით: $$ P(A) = P(A | B_1) P(B_1) + P(A | B_2) P(B_2) + P(A | B_3) P(B_3) $$
ეს ფორმულაც სრული ალბათობის ფორმულაა და თუკი დავუშვებთ, რომ პირველი და მეორე დანადგარი $ 10\% $-იანი ალბათობით უშვებს ხარვეზიან დეტალს $ (P(A | B_1) = P(A | B_2) = 10\%) $, ხოლო მესამე დანადგარი კი – $ 30\% $-იანი ალბათობით $ (P(A | B_3) = 30\% )$, მაშინ ხარვეზიანი დეტალის აღმოჩენის ალბათობა იქნება $$ P(A) = P(A | B_1) P(B_1) + P(A | B_2) P(B_2) + P(A | B_3) P(B_3) = $$ $$ = 10\% \cdot 40\% + 10\% \cdot 50\% + 30\% \cdot 10\% = $$ $$ = 4\% + 5\% + 3\% = 12\%. $$
აქვე შეგვიძლია გავაკეთოთ შემდეგი ზოგადი განსაზღვრება:
რაიმე \( A \) ხდომილების სრული ალბათობა უდრის ამ ხდომილების პირობით ალბათობათა შეწონილ საშუალოს: $$ P(A) = P(A | B_1) P(B_1) + P(A | B_2) P(B_2) + … + P(A | B_n) P(B_n) $$ სადაც პირობები ურთიერთგამომრიცხავი და ერთობლივად ამომწურავი (\( B_1, B_2, …, B_n \)) ხდომილებებია, ხოლო წონები კი ამ ხდომილებათა უპირობო (\( P(B_1), P(B_2), …, P(B_n) \)) ალბათობები.
განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი, სადაც სამი პირობის ნაცვლად გვექნება ორი პირობა – ხდომილება და მისი დამატება. დავუშვათ, წარმატებული საგამოძიებო ოპერაციის შედეგად დაკავებულ იქნა $ 200 $ პირი, რომელნიც ეჭვმიტანილნი არიან ბინების ორგანიზებულ ძარცვაში. კრიმინალურ საქმეთა გამომძიებელმა აღნიშნული ეჭვმიტანილები დაჰყო ორ ჯგუფად:
- ვისაც კრიმინალური ისტორია “სუფთა” აქვს, ანუ აქამდე არავითარი დანაშაული არ ჩაუდენია (აღვნიშნოთ შესაბამისი ხდომილება \( B \)-თი) და
- ვისაც ერთი დანაშაული მაინც აქვს ჩადენილი (აღვნიშნოთ შესაბამისი ხდომილება \( B \)-ის დამატებით, ანუ \( \bar{B} \)-ით).
აღმოჩნდა, რომ ეჭვმიტანილთა $ 65\% $ “სუფთა” კრიმინალური ისტორიის მქონეა, ხოლო დანარჩენი $ 35\% $ კი – არა, ანუ $$ P(B) = 65\% $$ $$ P(\bar{B}) = 35\% $$
მდიდარი სამუშაო გამოცდილებიდან გამომძიებელმა იცის, რომ, საშუალოდ, “სუფთა” კრიმინალური ისტორიის მქონე ეჭვმიტანილი $ 15\% $-იანი ალბათობით მონაწილეობს ბინის ძარცვის დანაშაულში (აღვნიშნოთ ეს დანაშაული \( A \) სიმბოლოთი), ხოლო კრიმინალური ისტორიის მქონე კი იგივე დანაშაულს ჩადის $ 45\% $-იანი ალბათობით. ანუ გვაქვს, რომ $$ P(A | B) = 15\% $$ $$ P(A | \bar{B}) = 45\% $$
ვინაიდან \( B \) და \( \bar{B} \), როგორც ერთმანეთის დამატებები, ურთიერთგამომრიცხავი და ერთობლივად ამომწურავი ხდომილებებია, ზემოთ მოცემული ფორმულის თანახმად: $$ P(A) = P(A | B) P(B) + P(A | \bar{B}) P( \bar{B} ) = 15\% \cdot 65\% + 45\% \cdot 35\% = 25.5\% $$
ე.ი. ალბათობა იმისა, რომ $ 200 $ ეჭვმიტანილიდან რომელიმე (შემთხვევით) შერჩეული პირი მონაწილეობდა ბინის ძარცვაში, უდრის $ 25.5\% $-ს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს რიცხვი წარმოადგენს ეჭვმიტანილთა შორის ამ კონკრეტული დანაშაულის ჩამდენთა წილს – \( A \) ხდომილების სრულ ალბათობას.