8.4. პუასონის შემთხვევითი ცვლადი და მისი ალბათური განაწილება
დავუშვათ, ბანკის მენეჯერი ყოველ სამუშაო დღეს აკვირდება რამდენი სასესხო განაცხადი შემოდის კლიენტებისგან და ხანგრძლივი დაკვირვების შემდეგ დაადგინა, რომ: დღის განმავლობაში შემოსული განაცხადების საშუალო რაოდენობა არ იცვლება (ანუ ორშაბათს შემოდის საშუალოდ იმდენივე განაცხადი, რამდენიც სამშაბათს, ოთხშაბათს და ა.შ.) განაცხადის შემოსვლის ხდომილება სრულიად დამოუკიდებელია სხვა განაცხადის შემოსვლისგან ორი განაცხადი ერთდროულად, დროის ერთსა და იმავე მომენტში, არასდროს შემოდის. […]
8.3. ჰიპერგეომეტრიული შემთხვევითი ცვლადი და მისი ალბათური განაწილება
წინა ქვეთავში განვიხილეთ მაგალითი ურნასა და ბურთებზე, სადაც საქმე გვქონდა ბინომიალურ ექსპერიმენტთან. ახლა კი წარმოვიდგინოთ, რომ ურნიდან ამოღებულ ბურთს უკან არ ვაბრუნებთ. მაშინ ცხადია, რომ თეთრი ბურთის ამოღების ალბათობა ყოველ ჯერზე განსხვავებული გახდება და თან დამოკიდებული იქნება იმაზე, თუ წინა ჯერზე რომელი ფერის ბურთი ამოვიღეთ. ასეთ შემთხვევაში წარმატებათა რაოდენობა (ანუ ამოღებულ თეთრ ბურთთა რაოდენობა) შესაძლებელია […]
8.2. ბინომიალური შემთხვევითი ცვლადი და მისი ალბათური განაწილება
ბინომიალური განაწილება წარმოადგენს ბერნულის განაწილების განზოგადებას იმ მხრივ, რომ თუკი ბერნულის ცდას არა ერთხელ, არამედ რამდენჯერმე გავიმეორებთ, მაშინ ალბათობათა გამოთვლა შესაძლებელი გახდება ბინომიალური განაწილების ფორმულების მეშვეობით. ამასთან, იგულისხმება, რომ თითოეული ცდა ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია და მიღებული შედეგები ერთმანეთზე გავლენას ვერ ახდენს. მეტი სიცხადისათვის კვლავ დავუშვათ, რომ ერთ ცდაში წარმატების მიღწევის ალბათობა უდრის \( p \)-ს და […]
8.1. ბერნულის შემთხვევითი ცვლადი და მისი ალბათური განაწილება
წარმოვიდგინოთ შემთხვევითი ექსპერიმენტი, რომელსაც გააჩნია ორი ურთიერთგამომრიცხავი და ერთობლივად ამომწურავი შედეგი. შედეგებს პირობითად ვუწოდოთ „წარმატება“ და „მარცხი“ (მაგალითად, მონეტის აგდებისას საფასურის მოსვლა შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ როგორც “წარმატება”). აღვნიშნოთ \( p \)-თი ალბათობა იმისა, რომ შედეგი იქნება „წარმატება“ და მაშინ ცხადია, რომ „მარცხის“ ალბათობა იქნება \( (1-p) \). განვსაზღვროთ ასევე შემთხვევითი ცვლადი \( X \), რომელიც მიიღებს […]
8. დისკრეტული ალბათური განაწილებები
შესავალი წინა თავში ზოგადად განვიხილეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი და ვისაუბრეთ მის არსსა და მახასიათებლებზე. ამ თავში კი ისეთ ცვლადებს გავეცნობით, რომელთაც სპეციფიური ალბათური განაწილება გააჩნია. სპეციფიურობაში ვგულისხმობთ იმას, რომ ჩვენ ისეთ შემთხვევით ექსპერიმენტებს განვიხილავთ, რომელთა შედეგების ალბათობათა გამოთვლა წინასწარ განსაზღვრულ წესებსა და ფორმულებს ემორჩილება.
7.9. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის საშუალო და დისპერსია
დავუშვათ, მოცემულია ორი შემთხვევითი ცვლადი \( X \) და \( Y \). მაშინ სამართლიანია შემდეგი ტოლობები: $$ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \tag{1}$$ $$ E(aX+bY)= aE(X)+bE(Y) \tag{2} $$ $$ Var(aX+bY)= a^2 Var(X)+b^2 Var(Y)+2ab*Cov(X,Y) \tag{3} $$ სადაც \( Var \) აღნიშნავს დისპერსიას, ხოლო \( Cov \) კი კოვარიაციას. განვიხილოთ მაგალითი. საკონდიტრო დღის განმავლობაში იღებს სხვადასხვა რაოდენობის შეკვეთებს დიდ ტორტებზე და […]
7.8. შემთხვევითი ცვლადის წრფივი ფუნქციის საშუალო, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა
დავუშვათ, წინა ქვეთავში განხილულ მაგალითში პროექტის მენეჯერს სურს შეაფასოს მოსალოდნელი ხარჯი. მან უწყის, რომ პროექტის შესასრულებლად შესყიდულ უნდა იქნას 25,000 ლარის ღირებულების მასალა და ამასთან, ყოველ დღეს ხელფასის სახით თანამშრომლებზე უნდა გაიცეს 900 ლარი. მაშასადამე, თუ პროექტი დასრულდება \( x \) დღეში, მაშინ ბუნებრივია სრული ხარჯი იქნება \( C = 25,000 + 900x \) ლარი. […]
7.7. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის გაფანტულობის საზომები
ადრე ვიხილეთ, რომ მონაცემთა პოპულაციის გაფანტულობის ერთ-ერთი კარგი საზომია დისპერსია, რომელიც საშუალოდან გადახრათა კვადრატების საშუალოს წარმოადგენს. შემთხვევითი ცვლადისთვისაც ჩვენ განვსაზღვრავთ ანალოგიურ სიდიდეს, რომელიც იქნება მისი საშუალოდან (მათემატიკური ლოდინიდან) გადახრათა კვადრატების შეწონილი საშუალო და წონებად კი ალბათობებს ავიღებთ. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია, $ Var(X) $ ან $ \sigma^2(X) $, ეწოდება ცვლადის საშუალოდან გადახრათა კვადრატების მათემატიკურ ლოდინს: […]
7.6. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის საშუალო
სალექციო კურსის ერთ-ერთ საწყის თემაში ჩვენ განვიხილეთ მონაცემთა სიმრავლის დამახასიათებელი სიდიდეები, კერძოდ, ცენტრალური ტენდენციისა და გაფანტულობის საზომები. ამჟამად ჩვენი მიზანია განვსაზღვროთ იგივე ტიპის საზომები დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის. დავუშვათ, კომპიუტერული სერვერი დროდადრო ხდება ხოლმე კიბერშეტევის სამიზნე. წარსული მონაცემების გაანალიზების შედეგად დადგინდა შემდეგი: განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი \( X \), რომლითაც ავღნიშნავთ $ 1 $ საათში კიბერშეტევათა რაოდენობას. […]
7.5. კავშირი კუმულატიური ალბათობის ფუნქციასა და ალბათობის ფუნქციას შორის
დავუშვათ, \( X \) წარმოადგენს რაიმე შემთხვევით დისკრეტულ ცვლადს კუმულატიური ალბათობის ფუნქციით \( F(x) \) და ალბათობის ფუნქციით \( f(x) \). მაშინ ადვილი საჩვენებელია, რომ რაიმე \( x_0 \) წერტილში $$ F(x_0 )=\sum_{x≤x_0} {f(x)} $$ მაგალითად, მონეტის ორჯერ აგდების ექსპერიმენტში კუმულატიური ალბათობის ფუნქციის მნიშვნელობა \( x_0=1 \)-თვის იქნება: $$ F(x_0)=F(1)=\sum_{x≤1} {f(x)}=f(0)+f(1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.25+0.5=0.75 $$ აღნიშნული კავშირის […]