8.4. პუასონის შემთხვევითი ცვლადი და მისი ალბათური განაწილება

დავუშვათ, ბანკის მენეჯერი ყოველ სამუშაო დღეს აკვირდება რამდენი სასესხო განაცხადი შემოდის კლიენტებისგან. ხანგრძლივი დაკვირვების შემდეგ მან დაადგინა, რომ:

  1. განაცხადის შემოსვლის ალბათობა არ იცვლება დღიდან დღემდე (ანუ განაცხადის ორშაბათს შემოსვლის ალბათობა უდრის განაცხადის სამშაბათს შემოსვლის ალბათობას და უდრის განაცხადის ოთხშაბათს შემოსვლის ალბათობას და ა.შ.)
  2. ერთ კონკრეტულ დღეს განაცხადის შემოსვლის ხდომილება სრულიად დამოუკიდებელია სხვა ნებისმიერ დღეს მომხდარი ან მოსახდენი იგივე ხდომილებისგან

თურმე ამ ორი მოცემულობის პირობებში შესაძლებელია, რომ დღის განმავლობაში შემოსული განაცხადების რაოდენობა აღწერილ იქნას პუასონის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადით. ეს ცვლადი, საზოგადოდ, საშუალებას იძლევა დათვლილ იქნას ალბათობა იმისა, რომ დროის ან სივრცის ფიქსირებულ ინტერვალში რაიმე ხდომილებას ადგილი ექნება რამდენიმეჯერ. მაშასადამე, ჩვენს მაგალითში ბანკის მენეჯერს შეუძლია დაითვალოს რა ალბათობით შემოვა დღის განმავლობაში, ვთქვათ, 5 განაცხადი. თუმცა ამისთვის მან დამატებით უნდა დაადგინოს შემოსული განაცხადების საშუალო დღიური სიხშირე/რაოდენობა (თუნდაც წარსულ მონაცემებზე დაყრდნობით).

განსაზღვრება 8.4.1. პუასონის (\( X \)) შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის ფუნქცია მოიცემა შემდეგი სახით: $$ f(x)=P(X=x)=\frac{e^{-\lambda}*\lambda^x}{x!} $$ სადაც \( e \) ნეპერის (ოილერის) რიცხვია და უდრის 2.71828…-ს (\( \approx \) 2.72-ს), \( \lambda \) – საშუალო სიხშირე, ხოლო \( x \) – ხდომილების მოცემული სიხშირე.

თუკი, მაგალითად, ბანკის მენეჯერის გამოთვლებით საშუალო დღიური სიხშირე 6-ია, მაშინ 5 განაცხადის შემოსვლის ალბათობა იქნება: $$ P(X=5)=\frac{2.72^{-6}*6^5}{5!} \approx 0.16 $$

პუასონის ცვლადის მათემატიკური ლოდინი (საშუალო) ემთხვევა მის დისპერსიას: $$ E(X)=\lambda=Var(X) $$ მაშინ ბანკში შემოსული განაცხადების სტანდარტული გადახრა იქნება: $$ \sigma(X)=\sqrt{\lambda}=\sqrt{6} \approx 2.45 $$

მნიშვნელოვანია გავიაზროთ, რომ ბინომიალურის მსგავსად, პუასონის შემთხვევითი ცვლადიც დისკრეტულია და შესაძლებელია დათვლილ იქნას „წარმატებათა“ რაოდენობა (ანუ რამდენჯერ ჰქონდა ადგილი ჩვენთვის საინტერესო ხდომილებას), მაგრამ განსხვავება ისაა, რომ პუასონის ტიპის ამოცანებში არ ვუწყით „მარცხების“ რაოდენობა, ანუ რამდენჯერ არ ჰქონდა ადგილი იგივე ხდომილებას (რამდენჯერ არ შემოვიდა განაცხადი ბანკში).

მაგალითი. სამუშაო საათებში კომპანიის ცხელ ხაზზე საათის განმავლობაში საშუალოდ 4 ზარი შედის. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მომდევნო საათში ზარების რაოდენობა იქნება 3, თუკი ზარების სიხშირე ემორჩილება პუასონის ალბათური განაწილების კანონს?

ამოხსნა. \( \lambda=4 \) და \( k =3 \), ამიტომ $$ P(X=3)=\frac{2.72^{-4}*4^3}{3!}=0.195 $$

მაგალითი. მსოფლიო ჩემპიონატის არსებობის ისტორიის მანძილზე მატჩში საშუალოდ 2.5 გოლი გადის. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მოცემულ მატჩში გავა მხოლოდ 1 გოლი, თუკი გოლების სიხშირე ემორჩილება პუასონის ალბათური განაწილების კანონს? რას უდრის მატჩში გატანილი გოლების საშუალო მნიშვნელობა და სტანდარტული გადახრა?

ამოხსნა. \( λ=2.5 \) და \( k=1 \), ამიტომ $$ P(X=1)=\frac{2.72^{-2.5}*2.5^1}{1!}=0.205 $$ $$ E(X)=2.5 $$ $$ σ(X)=\sqrt{2.5}=1.58 $$