7.7. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის გაფანტულობის საზომები

ადრე ვიხილეთ, რომ მონაცემთა პოპულაციის გაფანტულობის ერთ-ერთი კარგი საზომია დისპერსია, რომელიც საშუალოდან გადახრათა კვადრატების საშუალოს წარმოადგენს. შემთხვევითი ცვლადისთვისაც ჩვენ განვსაზღვრავთ ანალოგიურ სიდიდეს, რომელიც იქნება მისი საშუალოდან (მათემატიკური ლოდინიდან) გადახრათა კვადრატების შეწონილი საშუალო და წონებად კი ალბათობებს ავიღებთ.

განსაზღვრება 7.7.1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია, \( Var(X) \) ან \( \sigma^2(X) \), ეწოდება ცვლადის საშუალოდან გადახრათა კვადრატების მათემატიკურ ლოდინს: $$ Var(X) \equiv \sigma^2(X)=E((X-E(X))^2)=\sum_{x}{(x-E(X))^2 f(x)} $$

როგორც ვხედავთ, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის გამოსათვლელად მის თითოეულ \( x \) მნიშვნელობას უნდა გამოაკლდეს \( E(X) \) საშუალო, გამრავლდეს შესაბამის \( f(x) \) ალბათობაზე და დაჯამდეს.

დისპერსიის გამოთვლა ასევე მოსახერხებელია ეკვივალენტური ფორმულით: $$ \sigma^2(X)= E(X^2)-E(X)^2=\sum_{x} {x^2 f(x)}-\sum_{x} {(x f(x))^2} $$

\( X \) დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტული გადახრა, \( \sigma(X) \), წარმოადგენს არითმეტიკულ ფესვს დისპერსიიდან.

მაგალითი. გავიხსენოთ ადრე მოყვანილი მაგალითი მაღაზიის მეპატრონესა და ველოსიპედების შესახებ. გამოვთვალოთ გასაყიდი ველოსიპედების მათემატიკური ლოდინი (საშუალო) და გაფანტულობის საზომები. დღიური გაყიდვების შესაბამისი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობისა და კუმულატიური ალბათობის ფუნქციები მოცემული გვქონდა შემდეგი ცხრილის სახით:

\( x \)\( f(x) \)\( F(x) \)
00.150.15
10.300.45
20.200.65
30.200.85
40.100.95
50.051

ამოხსნა. მათემატიკური ლოდინის გამოსათვლელად, განმარტების თანახმად, წონებად აღებულ უნდა იქნეს ალბათობის ფუნქციის მნიშვნელობები, ე.ი.: $$ E(X)= 0*0.15+1*0.30+2*0.20+3*0.20+4*0.10+5*0.05= 1.95 $$ მაშასადამე, არსებულ ინფორმაციაზე დაყრდნობით, ველოსიპედების მოსალოდნელი რაოდენობა, რომელიც გაიყიდება დღის განმავლობაში, უდრის 1.95-ს. გამოვთვალოთ დისპერსია: $$ \sigma^2(X)=(0-1.95)^2*0.15+(1-1.95)^2*0.30+(2-1.95)^2*0.20+(3-1.95)^2*0.20+(4-1.95)^2*0.10+(5-1.95)^2*0.05=1.9475 $$ გამოვთვალოთ სტანდარტული გადახრა: $$ \sigma(X)= \sqrt{\sigma^2(X)}= \sqrt{1.9475} \approx 1.4 $$

მაშასადამე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მაღაზია დღეში საშუალოდ ყიდის 1.95 ველოსიპედს “პლიუს-მინუს” 1.4 ველოსიპედი.

მაგალითი. პროექტის მენეჯერი გარკვეული ალბათობებით ფიქრობს, რომ იგი პროექტს დაასრულებს 10, 11, 12, 13 ან 14 დღეში:

\( x \)\( f(x) \)
100.10
110.30
120.30
130.20
140.10

რას უდრის პროექტის ხანგრძლივობის მათემატიკური ლოდინი, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა?

ამოხსნა. მათემატიკური ლოდინი: $$ E(X) = 10*0.10+11*0.30+12*0.30+13*0.20+14*0.10=11.9 $$ დისპერსია: $$ \sigma^2(X)=(10-11.9)^2*0.10+(11-11.9)^2*0.30+(12-11.9)^2*0.30+(13-11.9)^2*0.20+(14-11.9)^2*0.10=1.29 $$ სტანდარტული გადახრა: $$
\sigma(X)= \sqrt{σ_X^2}=\sqrt{1.29} \approx 1.14 $$