7.9. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის საშუალო და დისპერსია
დავუშვათ, მოცემულია ორი შემთხვევითი ცვლადი \( X \) და \( Y \). მაშინ სამართლიანია შემდეგი ტოლობები: $$ E(X+Y)=E(X)+E(Y) \tag{1}$$ $$ E(aX+bY)= aE(X)+bE(Y) \tag{2} $$ $$ Var(aX+bY)= a^2 Var(X)+b^2 Var(Y)+2ab*Cov(X,Y) \tag{3} $$ სადაც \( Var \) აღნიშნავს დისპერსიას, ხოლო \( Cov \) კი კოვარიაციას. განვიხილოთ მაგალითი. საკონდიტრო დღის განმავლობაში იღებს სხვადასხვა რაოდენობის შეკვეთებს დიდ ტორტებზე და […]
7.8. შემთხვევითი ცვლადის წრფივი ფუნქციის საშუალო, დისპერსია და სტანდარტული გადახრა
დავუშვათ, წინა ქვეთავში განხილულ მაგალითში პროექტის მენეჯერს სურს შეაფასოს მოსალოდნელი ხარჯი. მან უწყის, რომ პროექტის შესასრულებლად შესყიდულ უნდა იქნას 25,000 ლარის ღირებულების მასალა და ამასთან, ყოველ დღეს ხელფასის სახით თანამშრომლებზე უნდა გაიცეს 900 ლარი. მაშასადამე, თუ პროექტი დასრულდება \( x \) დღეში, მაშინ ბუნებრივია სრული ხარჯი იქნება \( C = 25,000 + 900x \) ლარი. […]
7.7. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის გაფანტულობის საზომები
ადრე ვიხილეთ, რომ მონაცემთა პოპულაციის გაფანტულობის ერთ-ერთი კარგი საზომია დისპერსია, რომელიც საშუალოდან გადახრათა კვადრატების საშუალოს წარმოადგენს. შემთხვევითი ცვლადისთვისაც ჩვენ განვსაზღვრავთ ანალოგიურ სიდიდეს, რომელიც იქნება მისი საშუალოდან (მათემატიკური ლოდინიდან) გადახრათა კვადრატების შეწონილი საშუალო და წონებად კი ალბათობებს ავიღებთ. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია, $ Var(X) $ ან $ \sigma^2(X) $, ეწოდება ცვლადის საშუალოდან გადახრათა კვადრატების მათემატიკურ ლოდინს: […]
7.6. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის საშუალო
სალექციო კურსის ერთ-ერთ საწყის თემაში ჩვენ განვიხილეთ მონაცემთა სიმრავლის დამახასიათებელი სიდიდეები, კერძოდ, ცენტრალური ტენდენციისა და გაფანტულობის საზომები. ამჟამად ჩვენი მიზანია განვსაზღვროთ იგივე ტიპის საზომები დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის. დავუშვათ, კომპიუტერული სერვერი დროდადრო ხდება ხოლმე კიბერშეტევის სამიზნე. წარსული მონაცემების გაანალიზების შედეგად დადგინდა შემდეგი: განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი \( X \), რომლითაც ავღნიშნავთ $ 1 $ საათში კიბერშეტევათა რაოდენობას. […]
7.5. კავშირი კუმულატიური ალბათობის ფუნქციასა და ალბათობის ფუნქციას შორის
დავუშვათ, \( X \) წარმოადგენს რაიმე შემთხვევით დისკრეტულ ცვლადს კუმულატიური ალბათობის ფუნქციით \( F(x) \) და ალბათობის ფუნქციით \( f(x) \). მაშინ ადვილი საჩვენებელია, რომ რაიმე \( x_0 \) წერტილში $$ F(x_0 )=\sum_{x≤x_0} {f(x)} $$ მაგალითად, მონეტის ორჯერ აგდების ექსპერიმენტში კუმულატიური ალბათობის ფუნქციის მნიშვნელობა \( x_0=1 \)-თვის იქნება: $$ F(x_0)=F(1)=\sum_{x≤1} {f(x)}=f(0)+f(1)=P(X=0)+ P(X=1)=0.25+0.5=0.75 $$ აღნიშნული კავშირის […]
7.4. კუმულატიური ალბათობის ფუნქცია
ხშირად სასარგებლოა ალბათური განაწილება სხვა სახითაც წარმოვადგინოთ. რაიმე \( X \) დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის კუმულატიური ალბათობის ფუნქცია, \( F(x) \), გამოსახავს ალბათობას იმისა, რომ \( X \) ნაკლებია ან ტოლია \( x \)-ისა, ანუ: $$ F(x)=P(X≤x) $$ სადაც \( F \) ნებისმიერ \( x \)-ში განსაზღვრული ფუნქციაა. მაგალითად, მონეტის ორჯერ აგდების ექსპერიმენტის შემთხვევაში კუმულატიური ალბათობის […]
7.3. ალბათობის ფუნქციის თვისებები
დავუშვათ, \( X \) წარმოადგენს რაიმე შემთხვევით დისკრეტულ ცვლადს ალბათობის ფუნქციით \( f(x) \). მაშინ ფუნქციას გააჩნია შემდეგი 2 თვისება: 1. ნებისმიერი \( x \)-თვის სამართლიანია: $$ 0≤f(x)≤1 $$ 2. ყველა ცალკეული შედეგის ალბათობათა ჯამი 1-ის ტოლია: $$ \sum_{x} {f(x)}=1 $$ პირველი თვისება ფაქტიურად აღნიშნავს ჩვენთვის კარგად ნაცნობ ფაქტს იმის შესახებ, რომ ალბათობა შეუძლებელია იყოს […]
7.2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათური განაწილება
დავუშვათ, \( X \)-ით აღნიშნულია რაიმე შემთხვევითი ცვლადი, ხოლო \( x \)-ით კი – მისი შესაძლო მნიშვნელობები. საზოგადოდ, იმ ალბათობის აღწერას, რომლითაც \( X \) იღებს \( x \) მნიშვნელობებს, ეწოდება ამ ცვლადის ალბათური განაწილება. ალბათური განაწილების ალგებრულად აღსაწერად დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის განიმარტება ალბათობის ფუნქცია, ხოლო უწყვეტისთვის კი – ალბათური სიმკვრივის ფუნქცია (რომელსაც მომავალ თავში […]
7.1. შემთხვევითი ცვლადის ცნება
როდესაც შემთხვევითი ექსპერიმენტის შედეგები რაოდენობრივი სიდიდეებია, ალბათობის გამოთვლა მოსახერხებელია შემთხვევითი ცვლადის გამოყენებით. ჩავატაროთ ასეთი ექსპერიმენტი: ავაგდოთ ორჯერ მონეტა და დავითვალოთ რამდენჯერ მოვა საფასური. სამ ხდომილებას შესაძლოა ჰქონდეს ადგილი: \( A \): საფასური არც ერთხელ ამოვა; \( B \): საფასური მხოლოდ ერთხელ ამოვა; \( C \): საფასური ორჯერ ამოვა. ადვილი სანახავია, რომ $$ P(A)=0.25, \quad P(B)=0.5, […]
7. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი
შესავალი წინა თავებში განვიხილეთ ალბათობის ცნება, რაც დაგვეხმარა ისეთი მოვლენების აღწერაში, რომელთა შედეგის წინასწარი განსაზღვრა შეუძლებელია (კამათლის გაგორება, ტენდერში გამარჯვების შესაძლებლობა და ა.შ.). წინამდებარე თავში კი ჩვენ გამოვიყენებთ მიღებულ ცოდნას, რათა ჩამოვაყალიბოთ ალბათური მოდელები დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის და ვიხილოთ მათი პრაქტიკული საჭიროება სხვადასხვა ამოცანის ამოსახსნელად. სკოლის მათემატიკის კურსიდან ალბათ გახსოვთ თუ რა არის ზოგადად ცვლადი: […]