ჰარმონიული საშუალო მონაცემთა ცენტრალური ტენდენციის საზომია.

\(x_1, x_2, …, x_n \) რიცხვების ჰარმონიული საშუალო წარმოადგენს ამ რიცხვების შებრუნებული სიდიდეების არითმეტიკული საშუალოს შებრუნებულს: $$ hmean = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + … + \frac{1}{x_n}} $$

დავუშვათ, დღეს სახლიდან სამსახურამდე გზა გავიარე 60 კმ/სთ სიჩქარით, ხოლო იგივე გზა, სახლში მიმავალმა, კი დავფარე 20 კმ/სთ სიჩქარით. რას უდრის დღევანდელი მოგზაურობის საშუალო სიჩქარე?

ალბათ გაჩნდება ცდუნება საშუალო გამოთვლილ იქნას არითმეტიკული საშუალოთი, ანუ $$ \frac{60+20}{2} = 40 კმ/სთ $$

მაგრამ საქმე იმაშია, რომ ეს სიდიდე “ჭეშმარიტ” საშუალოს არ წარმოადგენს, რადგან მე რომ მთლიანი მოგზაურობისას მევლო მუდმივი 40 კმ/სთ სიჩქარით, დროის იმავე პერიოდში იმაზე მეტ მანძილს დავფარავდი, ვიდრე რეალურად დავფარე. მართლაც, დავუშვათ, ჩემი სახლიდან სამსახურამდე 12 კმ-ია. ე.ი. წასვლას მოვანდომე 12/60 = 0.2 სთ, ხოლო წამოსვლას კი 12/20 = 0.6 სთ, ანუ ჯამში დავხარჯე 0.8 სთ. რა უნდა იყოს “ჭეშმარიტი” საშუალო სიჩქარე? ცხადია, ის უნდა იყოს მთლიანი გავლილი მანძილი შეფარდებული მთლიან დროსთან, ანუ $$ \frac{12+12}{0.8} = 30 კმ/სთ \tag{1}$$

და არა 40 კმ/სთ, როგორც ამას საშუალო არითმეტიკული მეუბნება. მოდი, ზოგადად გამოვიყვან ფორმულას: \( s \)-ით ავღნიშნავ მანძილს სახლიდან სამსახურამდე, \( t \)-თი მოგზაურობის მთლიან დროს, \( x \)-ით წასვლის სიჩქარეს, ხოლო \( y \)-ით კი წამოსვლის სიჩქარეს. მაშინ “ჭეშმარიტი” საშუალო იქნება: $$ \frac{s+s}{t} = \frac{2*s}{s/x + s/y} = \frac{2xy}{x + y} \tag{2}$$

ზედა ტოლობის ბოლო წევრი წარმოადგენს სწორედ \( x \) და \( y \) სიდიდეების ჰარმონიულ საშუალოს. ეს უკანასკნელი, საზოგადოდ, განიმარტება შემდეგნაირად:

აღწერილი მაგალითისთვის ამ ფორმულით გვექნება: $$ hmean = \frac{2}{1/x + 1/y} = \frac{2}{\frac{y + x}{xy}} = \frac{2xy}{x + y} = \frac{2*60*20}{60 + 20} = 30 $$

რაც ემთხვევა როგორც \( (1) \) შედეგს, ასევე \( (2) \) ფორმულის იდენტურია.

უნდა აღინიშნოს, რომ ჰარმონიული საშუალო, ნაწილობრივ, არითმეტიკული საშუალოს მთავარი ნაკლის კომპენსირებას ახდენს. კერძოდ, როგორც ცნობილია, არითმეტიკული საშუალო გადახრილია მონაცემთა ჯგუფში ამოვარდნილი (ექსტრემალური) მნიშვნელობისკენ და იწვევს ცენტრალური ტენდენციის არასწორ განსაზღვრას. მათემატიკურად კი მტკიცდება, რომ დადებითი მონაცემებისათვის ჰარმონიული საშუალო ყოველთვის მცირეა არითმეტიკულ საშუალოზე, რაც იძლევა საშუალებას დავასკვნათ, რომ “დიდი” ამოვარდნილი მონაცემების შემთხვევაში ჰარმონიული საშუალო უფრო მართებულად განსაზღვრავს ცენტრალურ ტენდენციას. თუმცა როცა ამოვარდნილი მნიშვნელობები, პირიქით, მცირეა, მაშინ ჰარმონიული საშუალო უფრო მეტად დამახინჯებულ სურათს იძლევა, ვიდრე არითმეტიკული.

ეს მსჯელობა უფრო ნათელი გახდება მორიგი მაგალითის ფონზე. დავუშვათ, მოცემულია სამი დადებითი რიცხვი $$ 6, 7, 200 $$ ბოლო მათგანი ამოვარდნილ სიდიდედ შეგვიძლია ჩავთვალოთ, რაც გამოიწვევს არითმეტიკული საშუალოს გადახრას მისკენ: $$ mean = \frac{6+7+200}{3} = 71 $$ მაშინ, როცა ჰარმონიული საშუალო უფრო ახლოს იდგება მონაცემთა ძირითად მასასთან (ანუ \( 6 \)-თან და \( 7 \)-თან): $$ hmean = \frac{3}{1/6+1/7+1/200} = 9.53 $$

Microsoft Excel-ში ჰარმონიული საშუალო ითვლება HARMEAN ფუნქციით.

Python-ში შესაბამისი ფუნქცია მოიძევება statistics მოდულში სახელწოდებით harmonic_mean.